20.设随机变量X的分布函数为-|||-_(x)(x)= ) 0, xlt 1, ln x, 1leqslant xlt e 1, xgeqslant e..-|||-(2)求概率密度fx(x).

考查要点：本题主要考查分布函数的性质及其应用，以及概率密度函数的求解方法。
解题思路：

1. 分布函数的应用：利用分布函数计算概率时，需注意不同区间对应的函数值，以及事件的分解方式。
2. 概率密度函数的求解：概率密度函数是分布函数的导数，需分段求导，并注意分段点处的处理方式。
   关键点：

• 分布函数的连续性：若分布函数在某点连续，则该点概率为0，可直接用分布函数值计算概率。
• 分段函数的导数：在连续区间内求导，分段点处概率密度函数的值可任意指定（通常取0）。

(1) 求概率

$P\{ X < 2 \}$

• 分析：$X < 2$ 对应 $F_X(2)$，因为分布函数在 $x=2$ 处连续（$1 \leq 2 < e$），故 $P\{ X=2 \}=0$。
• 计算：
  $P\{ X < 2 \} = F_X(2) = \ln 2.$

$P\{ 0 < X \leq 3 \}$

• 分析：$X$ 在 $x < 1$ 时概率为0，故 $P\{ 0 < X \leq 3 \} = P\{ X \leq 3 \} - P\{ X \leq 0 \}$。
• 计算：
  $P\{ 0 < X \leq 3 \} = F_X(3) - F_X(0) = 1 - 0 = 1.$

$P\{ 2 < X < \frac{5}{2} \}$

• 分析：利用分布函数的差值计算区间概率，注意 $\frac{5}{2}=2.5 < e$。
• 计算：
  $P\{ 2 < X < \frac{5}{2} \} = F_X\left(\frac{5}{2}\right) - F_X(2) = \ln \frac{5}{2} - \ln 2 = \ln \frac{5}{4}.$

(2) 求概率密度函数 $f_X(x)$

• 分析：概率密度函数是分布函数的导数，需分段求导。
• 分段求导：
  • 当 $x < 1$ 或 $x \geq e$ 时，$F_X(x)$ 为常数，导数为0。
  • 当 $1 < x < e$ 时，$F_X(x) = \ln x$，导数为 $\frac{1}{x}$。
  • 在分段点 $x=1$ 和 $x=e$ 处，概率密度函数的值可任意指定（通常取0）。
• 结果：
  $f_X(x) = \begin{cases} \dfrac{1}{x}, & 1 < x < e, \\ 0, & \text{其他}. \end{cases}$