(int )_(-sqrt {2)}^sqrt (2)sqrt (8-2{y)^2}dy ;

步骤 1：代换
令 $y = \sqrt{2}\sin u$，则 $dy = \sqrt{2}\cos u du$。当 $y = -\sqrt{2}$ 时，$u = -\frac{\pi}{2}$；当 $y = \sqrt{2}$ 时，$u = \frac{\pi}{2}$。因此，原积分变为：
${\int }_{-\frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}}\sqrt {8-2{(\sqrt{2}\sin u)}^{2}}\sqrt{2}\cos u du$。
步骤 2：化简
化简被积函数，得到：
${\int }_{-\frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}}\sqrt {8-4\sin^2 u}\sqrt{2}\cos u du$。
步骤 3：进一步化简
注意到 $\sqrt{8-4\sin^2 u} = 2\sqrt{2}\cos u$，因此原积分变为：
${\int }_{-\frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}}2\sqrt{2}\cos^2 u du$。
步骤 4：使用二倍角公式
使用二倍角公式 $\cos^2 u = \frac{1}{2}(1 + \cos 2u)$，得到：
${\int }_{-\frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}}2\sqrt{2}\frac{1}{2}(1 + \cos 2u) du$。
步骤 5：计算积分
计算积分，得到：
$2\sqrt{2}{\int }_{-\frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}}\frac{1}{2}(1 + \cos 2u) du = 2\sqrt{2}{\int }_{-\frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}}\frac{1}{2}du + 2\sqrt{2}{\int }_{-\frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}}\frac{1}{2}\cos 2u du$。
步骤 6：计算结果
计算结果，得到：
$2\sqrt{2}[\frac{1}{2}u]_{-\frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}} + 2\sqrt{2}[\frac{1}{4}\sin 2u]_{-\frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}} = 2\sqrt{2}(\frac{\pi }{2} + \frac{\pi }{2}) + 2\sqrt{2}(0 - 0) = 2\sqrt{2}\pi$。