题目

5.证明：当x>0时，cosx>1-(x^2)/(2).

5.证明：当x>0时，cosx>1-$\frac{x^{2}}{2}$.

题目解答

答案

为了证明当 $ x > 0 $ 时， $ \cos x > 1 - \frac{x^2}{2} $，我们可以使用泰勒展开式。泰勒展开式可以将函数表示为一个无限和，其中每一项都是一个多项式。对于 $ \cos x $ 函数，其泰勒展开式在 $ x = 0 $ 处为： \[ \cos x = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \frac{x^6}{6!} + \cdots \] 我们可以将这个展开式重写为： \[ \cos x = 1 - \frac{x^2}{2} + \left( \frac{x^4}{24} - \frac{x^6}{720} + \cdots \right) \] 注意到括号内的项都是 $ x $ 的正幂次项，且系数为正（因为 $ \frac{1}{4!}, \frac{1}{6!}, \cdots $ 都是正数）。因此，当 $ x > 0 $ 时，括号内的项的和为正数。这表示： \[ \cos x > 1 - \frac{x^2}{2} \] 因为 $ 1 - \frac{x^2}{2} $ 是 $ \cos x $ 的泰勒展开式的前两项，而剩下的项都是正数，所以 $ \cos x $ 一定大于 $ 1 - \frac{x^2}{2} $。 因此，我们证明了当 $ x > 0 $ 时， $ \cos x > 1 - \frac{x^2}{2} $。 \[ \boxed{\cos x > 1 - \frac{x^2}{2}} \]

解析

考查要点：本题主要考查利用导数分析函数单调性来证明不等式的方法，或泰勒展开式的余项分析能力。

核心思路：通过构造适当的函数，分析其导数的符号变化，从而证明原不等式成立。关键在于二阶导数的正负性，推导出原函数的单调性。

破题关键：

  1. 构造函数 $f(x) = \cos x - \left(1 - \frac{x^2}{2}\right)$，将不等式转化为证明 $f(x) > 0$（$x > 0$）。
  2. 通过求导分析 $f(x)$ 的单调性，结合初始条件 $f(0) = 0$，得出结论。

步骤1：构造函数
定义函数 $f(x) = \cos x - \left(1 - \frac{x^2}{2}\right)$，需证明当 $x > 0$ 时，$f(x) > 0$。

步骤2：计算初始值
当 $x = 0$ 时，$f(0) = \cos 0 - \left(1 - 0\right) = 1 - 1 = 0$。

步骤3：求一阶导数
$f'(x) = \frac{d}{dx} \left( \cos x - 1 + \frac{x^2}{2} \right) = -\sin x + x.$

步骤4：求二阶导数
$f''(x) = \frac{d}{dx} \left( -\sin x + x \right) = -\cos x + 1.$

步骤5：分析二阶导数的符号
当 $x > 0$ 时，$\cos x < 1$，因此：
$f''(x) = 1 - \cos x > 0.$
这表明 $f'(x)$ 在 $x > 0$ 时单调递增。

步骤6：分析一阶导数的符号
当 $x = 0$ 时，$f'(0) = -\sin 0 + 0 = 0$。由于 $f''(x) > 0$，$f'(x)$ 在 $x > 0$ 时递增，故：
$f'(x) > f'(0) = 0 \quad (x > 0).$
这表明 $f(x)$ 在 $x > 0$ 时单调递增。

步骤7：结合单调性与初始值
因为 $f(x)$ 在 $x > 0$ 时递增，且 $f(0) = 0$，所以：
$f(x) > f(0) = 0 \quad (x > 0).$
即：
$\cos x > 1 - \frac{x^2}{2} \quad (x > 0).$