题目
在长方体ABCD-A1B1C1D1中，已知B1D与平面ABCD和平面AA1B1B所成的角均为30°，则（ ）A. AB=2ADB. AB与平面AB1C1D所成的角为30°C. AC=CB1D. B1D与平面BB1C1C所成的角为45°
在长方体ABCD-A1B1C1D1中，已知B1D与平面ABCD和平面AA1B1B所成的角均为30°，则（ ）
- A. AB=2AD
- B. AB与平面AB1C1D所成的角为30°
- C. AC=CB1
- D. B1D与平面BB1C1C所成的角为45°
题目解答
答案
解：如图所示，连接AB1，BD，不妨令AA1=1，
在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AD⊥面AA1B1B，BB1⊥面ABCD，
所以∠B1DB和∠DB1A分别为B1D与平面ABCD和平面AA1B1B所成的角，
即∠B1DB=∠DB1A=30°，
所以在Rt△BDB1中，BB1=AA1=1，$BD=\sqrt{3}，{B}_{1}D=2$，
在Rt△ADB1中，DB1=2，$AD=1，A{B}_{1}=\sqrt{3}$，
所以AB=$\sqrt{2}$，$C{B}_{1}=\sqrt{2}$，$AC=\sqrt{3}$，
故选项A，C错误，
由图易知，AB在平面AB1C1D上的射影在AB1上，
所以∠B1AB为AB与平面AB1C1D所成的角，
在Rt△ABB1中，$sin∠{B}_{1}AB=\frac{B{B}_{1}}{A{B}_{1}}=\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$，
故选项B错误，
如图，连接B1C，
则B1D在平面BB1C1C上的射影为B1C，
所以∠DB1C为B1D与平面BB1C1C所成的角，
在Rt△DB1C中，${B}_{1}C=\sqrt{2}$=DC，所以∠DB1C=45°，
所以选项D正确，
故选：D．
在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AD⊥面AA1B1B，BB1⊥面ABCD，
所以∠B1DB和∠DB1A分别为B1D与平面ABCD和平面AA1B1B所成的角，
即∠B1DB=∠DB1A=30°，
所以在Rt△BDB1中，BB1=AA1=1，$BD=\sqrt{3}，{B}_{1}D=2$，
在Rt△ADB1中，DB1=2，$AD=1，A{B}_{1}=\sqrt{3}$，
所以AB=$\sqrt{2}$，$C{B}_{1}=\sqrt{2}$，$AC=\sqrt{3}$，
故选项A，C错误，
由图易知，AB在平面AB1C1D上的射影在AB1上，
所以∠B1AB为AB与平面AB1C1D所成的角，
在Rt△ABB1中，$sin∠{B}_{1}AB=\frac{B{B}_{1}}{A{B}_{1}}=\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$，
故选项B错误，
如图，连接B1C，
则B1D在平面BB1C1C上的射影为B1C，
所以∠DB1C为B1D与平面BB1C1C所成的角，
在Rt△DB1C中，${B}_{1}C=\sqrt{2}$=DC，所以∠DB1C=45°，
所以选项D正确，
故选：D．
解析
本题考查长方体中的线面角计算及空间几何关系判断。解题核心在于：
- 确定线面角的定义：直线与平面所成角是直线与其在平面上的投影的夹角；
- 利用特殊角度建立比例关系：通过已知的30°角，结合长方体棱的垂直关系，建立边长比例；
- 逐一验证选项：通过几何关系或计算排除错误选项，确定正确答案。
步骤1：设定参数与基本关系
设长方体高$AA_1=1$，则$BB_1=1$。
- 平面ABCD的法向量为$AD$，平面AA₁B₁B的法向量为$BB_1$。
- $B_1D$与平面ABCD的角为$\angle B_1DB=30^\circ$，与平面AA₁B₁B的角为$\angle DB_1A=30^\circ$。
步骤2：计算边长
- 在Rt△BDB₁中：
$\cos 30^\circ = \frac{BB_1}{B_1D} \implies B_1D=2, \quad BD=\sqrt{3}.$ - 在Rt△ADB₁中：
$AD=1, \quad AB_1=\sqrt{AD^2 + DB_1^2} = \sqrt{3}.$ - 其他边长：
$AB = \sqrt{AD^2 + BD^2} = \sqrt{2}, \quad CB_1 = \sqrt{2}, \quad AC = \sqrt{3}.$
步骤3：验证选项
- 选项A：$AB=\sqrt{2} \neq 2AD=2$，错误。
- 选项B：$AB$与平面$AB_1C_1D$的角为$\arcsin \frac{\sqrt{3}}{3} \neq 30^\circ$，错误。
- 选项C：$AC=\sqrt{3} \neq CB_1=\sqrt{2}$，错误。
- 选项D：$B_1D$在平面$BB_1C_1C$的投影为$B_1C$，$\angle DB_1C=45^\circ$，正确。