题目
[题目]求极限 lim _(xarrow 0)dfrac (xy)(sqrt {2-{e)^xy}-1}
题目解答
答案
解析
步骤 1：化简表达式
首先，我们注意到当 $x$ 趋近于 $0$ 时，$e^x$ 趋近于 $1$，因此 $\sqrt{2-e^x}$ 趋近于 $\sqrt{2-1} = 1$。这表明分母 $\sqrt{2-e^x} - 1$ 趋近于 $0$，而分子 $xy$ 也趋近于 $0$。因此，我们需要对表达式进行化简，以便能够计算极限。
步骤 2：使用有理化方法
为了消除分母中的根号，我们使用有理化方法，即乘以分母的共轭表达式。具体来说，我们乘以 $\sqrt{2-e^x} + 1$，这样可以将分母中的根号去掉。因此，原式变为：
$$\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {xy(\sqrt {2-{e}^{x}}+1)}{(\sqrt {2-{e}^{x}}-1)(\sqrt {2-{e}^{x}}+1)}$$
$$=\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {xy(\sqrt {2-{e}^{x}}+1)}{2-{e}^{x}-1}$$
$$=\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {xy(\sqrt {2-{e}^{x}}+1)}{1-{e}^{x}}$$
步骤 3：利用等价无穷小替换
当 $x$ 趋近于 $0$ 时，$1-e^x$ 可以用 $-x$ 来替换，因为 $e^x$ 在 $x=0$ 处的泰勒展开式为 $1+x+O(x^2)$，所以 $1-e^x \sim -x$。因此，原式进一步化简为：
$$\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {xy(\sqrt {2-{e}^{x}}+1)}{-x}$$
$$=\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {y(\sqrt {2-{e}^{x}}+1)}{-1}$$
$$=\lim _{x\rightarrow 0}-y(\sqrt {2-{e}^{x}}+1)$$
$$=-y(\sqrt {2-1}+1)$$
$$=-y(1+1)$$
$$=-2y$$
首先，我们注意到当 $x$ 趋近于 $0$ 时，$e^x$ 趋近于 $1$，因此 $\sqrt{2-e^x}$ 趋近于 $\sqrt{2-1} = 1$。这表明分母 $\sqrt{2-e^x} - 1$ 趋近于 $0$，而分子 $xy$ 也趋近于 $0$。因此，我们需要对表达式进行化简，以便能够计算极限。
步骤 2：使用有理化方法
为了消除分母中的根号，我们使用有理化方法，即乘以分母的共轭表达式。具体来说，我们乘以 $\sqrt{2-e^x} + 1$，这样可以将分母中的根号去掉。因此，原式变为：
$$\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {xy(\sqrt {2-{e}^{x}}+1)}{(\sqrt {2-{e}^{x}}-1)(\sqrt {2-{e}^{x}}+1)}$$
$$=\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {xy(\sqrt {2-{e}^{x}}+1)}{2-{e}^{x}-1}$$
$$=\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {xy(\sqrt {2-{e}^{x}}+1)}{1-{e}^{x}}$$
步骤 3：利用等价无穷小替换
当 $x$ 趋近于 $0$ 时，$1-e^x$ 可以用 $-x$ 来替换，因为 $e^x$ 在 $x=0$ 处的泰勒展开式为 $1+x+O(x^2)$，所以 $1-e^x \sim -x$。因此，原式进一步化简为：
$$\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {xy(\sqrt {2-{e}^{x}}+1)}{-x}$$
$$=\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {y(\sqrt {2-{e}^{x}}+1)}{-1}$$
$$=\lim _{x\rightarrow 0}-y(\sqrt {2-{e}^{x}}+1)$$
$$=-y(\sqrt {2-1}+1)$$
$$=-y(1+1)$$
$$=-2y$$