题目
5. 求平面2x-y+2z-3=0和平面2x-y+2z-3=0的交角的平分面方程.
5. 求平面
和平面
的交角的平分面方程.
题目解答
答案
根据两平面交角的平分面的几何性质，平分面上任一点到两平面的距离相等，因此，在本题中，设所求平面上任意一点为
，则
整理，得到
因此
当
时，可得到
整理得到
当
可得到
整理，得到
故答案为：
、
解析
步骤 1：确定平分面的性质
平分面上任一点到两平面的距离相等。因此，设平分面上任意一点为$(x, y, z)$，则该点到两平面的距离相等。
步骤 2：计算距离并建立等式
根据点到平面的距离公式，点$(x, y, z)$到平面$2x-y+2z-3=0$的距离为$\dfrac {|2x-y+2z-3|}{\sqrt {{2}^{2}+{(-1)}^{2}+{2}^{2}}}$，到平面$x+4y-8z+1=0$的距离为$\dfrac {|x+4y-8z+1|}{\sqrt {{1}^{2}+{4}^{2}+{(-8)}^{2}}}$。因此，有$\dfrac {|2x-y+2z-3|}{3}=\dfrac {|x+4y-8z+1|}{9}$。
步骤 3：化简等式
化简得到$3 |2x-y+2z-3|=|x+4y-8z+1|$。因此，$(2x-y+2z-3)=\pm (x+4y-8z+1)$。
步骤 4：求解方程
当$(2x-y+2z-3)=x+4y-8z+1$时，整理得到$5x-7y+14z-10=0$。
当$(2x-y+2z-3)=-(x+4y-8z+1)$时，整理得到$7x+y-2z-8=0$。
平分面上任一点到两平面的距离相等。因此，设平分面上任意一点为$(x, y, z)$，则该点到两平面的距离相等。
步骤 2：计算距离并建立等式
根据点到平面的距离公式，点$(x, y, z)$到平面$2x-y+2z-3=0$的距离为$\dfrac {|2x-y+2z-3|}{\sqrt {{2}^{2}+{(-1)}^{2}+{2}^{2}}}$，到平面$x+4y-8z+1=0$的距离为$\dfrac {|x+4y-8z+1|}{\sqrt {{1}^{2}+{4}^{2}+{(-8)}^{2}}}$。因此，有$\dfrac {|2x-y+2z-3|}{3}=\dfrac {|x+4y-8z+1|}{9}$。
步骤 3：化简等式
化简得到$3 |2x-y+2z-3|=|x+4y-8z+1|$。因此，$(2x-y+2z-3)=\pm (x+4y-8z+1)$。
步骤 4：求解方程
当$(2x-y+2z-3)=x+4y-8z+1$时，整理得到$5x-7y+14z-10=0$。
当$(2x-y+2z-3)=-(x+4y-8z+1)$时，整理得到$7x+y-2z-8=0$。