题目

(19) (本题满分12分)设f(x)在[0,1]上连续，在开区间(0,1)内可导，且有f(1)=0，int_(0)^(2)/(pi)e^f(x)arctanxdx=(1)/(2)，则至少存在一点ξ∈(0,1)，使得(1+xi^2)arctanxicdot f^prime(xi)=-1.

(19) (本题满分12分) 设f(x)在[0,1]上连续，在开区间(0,1)内可导，且有f(1)=0，$\int_{0}^{\frac{2}{\pi}}e^{f(x)}arctanxdx=\frac{1}{2}$，则至少存在一点ξ∈(0,1)，使得$(1+\xi^{2})arctan\xi\cdot f^{\prime}(\xi)=-1$.

题目解答

答案

定义函数 $F(x) = e^{f(x)} \arctan x$，则 $$ F(1) = e^{f(1)} \arctan 1 = \frac{\pi}{4}. $$ 由积分中值定理，存在 $x_1 \in (0, \frac{2}{\pi})$ 使得 $$ e^{f(x_1)} \arctan x_1 = \frac{\pi}{4}, \quad \text{即 } F(x_1) = \frac{\pi}{4}. $$ 在 $[x_1, 1]$ 上应用罗尔定理，存在 $\xi \in (x_1, 1) \subset (0, 1)$ 使得 $$ F'(\xi) = e^{f(\xi)} \left[ f'(\xi) \arctan \xi + \frac{1}{1 + \xi^2} \right] = 0. $$ 由于 $e^{f(\xi)} \neq 0$，故 $$ f'(\xi) \arctan \xi + \frac{1}{1 + \xi^2} = 0, $$ 整理得 $$ (1 + \xi^2) \arctan \xi \cdot f'(\xi) = -1. $$ **答案：** $$ \boxed{(1 + \xi^2) \arctan \xi \cdot f'(\xi) = -1} $$

解析

考查要点：本题主要考查积分中值定理和罗尔定理的综合应用，以及通过构造辅助函数解决存在性问题的能力。

解题核心思路：

  1. 构造辅助函数：通过观察题目中的积分条件和目标式，构造函数$F(x) = e^{f(x)} \arctan x$，将积分条件转化为函数值的关系。
  2. 应用积分中值定理：利用积分结果等于被积函数在某点的值乘以区间长度，找到一点$x_1$使得$F(x_1) = F(1)$。
  3. 应用罗尔定理：在区间$[x_1, 1]$上，函数$F(x)$满足罗尔定理的条件，从而存在一点$\xi$使得$F'(\xi) = 0$，进而推导出目标式。

破题关键点：

  • 关键构造：选择$F(x) = e^{f(x)} \arctan x$，使得积分条件与$F(x)$的端点值关联。
  • 定理选择：通过积分中值定理建立端点值相等的条件，再利用罗尔定理导出导数为零的点。

构造辅助函数

定义函数$F(x) = e^{f(x)} \arctan x$，则：
$F(1) = e^{f(1)} \arctan 1 = e^0 \cdot \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{4}.$

应用积分中值定理

题目给出：
$\int_{0}^{\frac{2}{\pi}} e^{f(x)} \arctan x \, dx = \frac{1}{2}.$
由于被积函数$e^{f(x)} \arctan x$在$[0, \frac{2}{\pi}]$上连续，根据积分中值定理，存在$x_1 \in (0, \frac{2}{\pi})$，使得：
$e^{f(x_1)} \arctan x_1 \cdot \left( \frac{2}{\pi} - 0 \right) = \frac{1}{2}.$
解得：
$e^{f(x_1)} \arctan x_1 = \frac{\pi}{4} \quad \Rightarrow \quad F(x_1) = \frac{\pi}{4}.$

应用罗尔定理

在区间$[x_1, 1]$上，函数$F(x)$满足：

  1. 连续性：$F(x)$在$[x_1, 1]$上连续；
  2. 可导性：$F(x)$在$(x_1, 1)$内可导；
  3. 端点值相等：$F(x_1) = F(1) = \frac{\pi}{4}$.

根据罗尔定理，存在$\xi \in (x_1, 1) \subset (0, 1)$，使得：
$F'(\xi) = 0.$

求导并化简

计算$F'(x)$：
$F'(x) = e^{f(x)} \left[ f'(x) \arctan x + \frac{1}{1 + x^2} \right].$
令$F'(\xi) = 0$，由于$e^{f(\xi)} \neq 0$，得：
$f'(\xi) \arctan \xi + \frac{1}{1 + \xi^2} = 0.$
整理得：
$(1 + \xi^2) \arctan \xi \cdot f'(\xi) = -1.$