2.设连续型随机变量X的概率密度函数为-|||-f(x)= ^2)} 0,) 内的概率;-|||-(3)X的分布函数F(x).

步骤 1：求常数C
根据概率密度函数的性质，概率密度函数在整个定义域上的积分等于1。因此，我们有：
$$
\int_{-\infty}^{\infty} f(x) dx = 1
$$
由于f(x)在|x|<1时为$\frac{C}{\sqrt{1-x^2}}$，在其他地方为0，所以积分可以简化为：
$$
\int_{-1}^{1} \frac{C}{\sqrt{1-x^2}} dx = 1
$$
这个积分是标准的，其结果是C乘以$\pi$，因为积分$\int_{-1}^{1} \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} dx$等于$\pi$。因此，我们得到：
$$
C\pi = 1 \Rightarrow C = \frac{1}{\pi}
$$

步骤 2：求X的取值落在区间 $(-\frac{1}{2},\frac{1}{2})$ 内的概率
概率密度函数在区间 $(-\frac{1}{2},\frac{1}{2})$ 内的积分给出了X的取值落在该区间内的概率。因此，我们有：
$$
P(-\frac{1}{2} < X < \frac{1}{2}) = \int_{-\frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} \frac{1}{\pi\sqrt{1-x^2}} dx
$$
这个积分可以通过换元法求解，令$x = \sin\theta$，则$dx = \cos\theta d\theta$，积分变为：
$$
\frac{1}{\pi} \int_{-\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{6}} d\theta = \frac{1}{\pi} \left[\theta\right]_{-\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{6}} = \frac{1}{\pi} \left(\frac{\pi}{6} - (-\frac{\pi}{6})\right) = \frac{1}{3}
$$

步骤 3：求X的分布函数F(x)
分布函数F(x)定义为从负无穷到x的积分，即：
$$
F(x) = \int_{-\infty}^{x} f(t) dt
$$
根据f(x)的定义，我们分三种情况讨论：
- 当$x \leq -1$时，f(x)在积分区间上为0，所以F(x) = 0。
- 当$-1 < x < 1$时，F(x)为：
$$
F(x) = \int_{-1}^{x} \frac{1}{\pi\sqrt{1-t^2}} dt = \frac{1}{\pi} \left[\arcsin t\right]_{-1}^{x} = \frac{1}{\pi} (\arcsin x + \frac{\pi}{2})
$$
- 当$x \geq 1$时，f(x)在积分区间上为0，所以F(x) = 1。