注 类似地，可证明设函数f(x)在[-a,a]上具有2阶连续导数.证明:(1)若f(0)=0,则存在xiin(-a,a),使得f''(xi)=(1)/(a^2)[f(a)+f(-a)];(2)若f(x)在(-a,a)内取得极值,则存在etain(-a,a),使得|f''(eta)|geqslant(1)/(2a^2)|f(a)-f(-a)|.

考查要点：本题主要考查泰勒公式、中值定理及极值点性质的综合应用。
解题思路：

1. 第（1）题：利用泰勒公式在$x=0$处展开$f(a)$和$f(-a)$，通过相加消去一阶导数项，结合连续函数的介值性证明结论。
2. 第（2）题：利用极值点处一阶导数为零的性质，对$f(a)$和$f(-a)$分别展开，通过三角不等式和最值定理推导不等式关系。

第（1）题

应用泰勒公式展开

由泰勒公式，$f(x)$在$x=0$处展开至二阶：
$\begin{aligned}f(a) &= f(0) + f'(0)a + \frac{f''(\eta_1)}{2}a^2, \\f(-a) &= f(0) - f'(0)a + \frac{f''(\eta_2)}{2}a^2,\end{aligned}$
其中$\eta_1, \eta_2 \in (-a, a)$。

消去一阶项并相加

已知$f(0)=0$，将两式相加得：
$f(a) + f(-a) = \frac{f''(\eta_1) + f''(\eta_2)}{2}a^2.$

应用介值定理

由于$f''(x)$在$[-a, a]$上连续，根据介值定理，存在$\xi \in (-a, a)$，使得：
$f''(\xi) = \frac{f(a) + f(-a)}{a^2}.$

第（2）题

极值点性质

设$f(x)$在$x_0 \in (-a, a)$处取得极值，则$f'(x_0) = 0$。对$f(a)$和$f(-a)$分别在$x_0$处展开：
$\begin{aligned}f(a) &= f(x_0) + f'(x_0)(a - x_0) + \frac{f''(\xi_1)}{2}(a - x_0)^2, \\f(-a) &= f(x_0) + f'(x_0)(-a - x_0) + \frac{f''(\xi_2)}{2}(-a - x_0)^2.\end{aligned}$
由于$f'(x_0) = 0$，化简得：
$\begin{aligned}f(a) - f(-a) &= \frac{f''(\xi_1)}{2}(a - x_0)^2 - \frac{f''(\xi_2)}{2}(-a - x_0)^2.\end{aligned}$

三角不等式与最值定理

取绝对值并应用三角不等式：
$|f(a) - f(-a)| \leq \frac{(a - x_0)^2}{2}|f''(\xi_1)| + \frac{(a + x_0)^2}{2}|f''(\xi_2)|.$
设$M = \max\{|f''(x)| : x \in [-a, a]\}$，则：
$|f(a) - f(-a)| \leq \frac{a^2}{2}(M + M) = a^2 M.$
因此存在$\eta \in (-a, a)$，使得$|f''(\eta)| = M$，即：
$M \geq \frac{|f(a) - f(-a)|}{a^2} \geq \frac{1}{2a^2}|f(a) - f(-a)|.$