题目
(6)已知alpha_(1),alpha_(2),alpha_(3),beta,gamma均为四维列向量，又A=[alpha_(1),alpha_(2),alpha_(3),beta],B=[alpha_(1),alpha_(2),alpha_(3),gamma],若|A|=3,|B|=2,则|A+2B|=____.
(6)已知$\alpha_{1},\alpha_{2},\alpha_{3},\beta,\gamma$均为四维列向量，又$A=[\alpha_{1},\alpha_{2},\alpha_{3},\beta],B=[\alpha_{1},\alpha_{2},\alpha_{3},\gamma],$若$|A|=3,|B|=2,$则$|A+2B|=$____.
题目解答
答案
已知 $ A = [\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3, \beta] $，$ B = [\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3, \gamma] $，且 $ |A| = 3 $，$ |B| = 2 $。
计算 $ A + 2B $：
\[
A + 2B = [3\alpha_1, 3\alpha_2, 3\alpha_3, \beta + 2\gamma]
\]
利用行列式性质，提取公因数 3：
\[
|A + 2B| = 3^3 \cdot |\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3, \beta + 2\gamma| = 27 \cdot |\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3, \beta + 2\gamma|
\]
由行列式线性性质：
\[
|\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3, \beta + 2\gamma| = |A| + 2|B| = 3 + 4 = 7
\]
因此：
\[
|A + 2B| = 27 \times 7 = 189
\]
答案：$\boxed{189}$
解析
考查要点：本题主要考查行列式的性质，特别是行列式的多线性性质和列操作对行列式的影响。
解题核心思路：
- 矩阵加法与行列式展开：将矩阵$A+2B$的列结构拆解，发现前三列均被放大3倍，第四列变为$\beta + 2\gamma$。
- 提取公因子：利用行列式的多线性性质，前三列的公因子3可提取到行列式外，变为$3^3$。
- 分解第四列：将第四列的$\beta + 2\gamma$拆分为两个行列式的和，分别对应$|A|$和$|B|$。
破题关键点：
- 识别列操作对行列式的影响，特别是列的线性组合。
- 灵活应用行列式的性质，如提取公因子和分解列的线性组合。
矩阵加法与行列式展开
矩阵$A+2B$的列结构为：
$A + 2B = [\alpha_1 + 2\alpha_1, \alpha_2 + 2\alpha_2, \alpha_3 + 2\alpha_3, \beta + 2\gamma] = [3\alpha_1, 3\alpha_2, 3\alpha_3, \beta + 2\gamma].$
提取公因子
前三列均含有公因子3，根据行列式的多线性性质：
$|A + 2B| = 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot |\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3, \beta + 2\gamma| = 27 \cdot |\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3, \beta + 2\gamma|.$
分解第四列
将第四列$\beta + 2\gamma$拆分为两个行列式的和：
$|\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3, \beta + 2\gamma| = |\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3, \beta| + 2|\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3, \gamma| = |A| + 2|B| = 3 + 2 \times 2 = 7.$
最终计算
将结果代入：
$|A + 2B| = 27 \times 7 = 189.$