题目
(2)设A是n阶方阵,则A可逆的充要条件是 ()-|||-A 齐次线性方程组 Ax=0 只有零解 B 齐次线性方程组 Ax=0 有非零解-|||-C R(A)=n D sim E
题目解答
答案
解析
步骤 1：理解可逆矩阵的定义
可逆矩阵是指存在一个矩阵B，使得AB=BA=E（E为单位矩阵），这样的矩阵A称为可逆矩阵，也称为非奇异矩阵。
步骤 2：分析选项A
齐次线性方程组 Ax=0 只有零解，意味着矩阵A的列向量线性无关，即矩阵A的秩等于n，因此A可逆。
步骤 3：分析选项B
齐次线性方程组 Ax=0 有非零解，意味着矩阵A的列向量线性相关，即矩阵A的秩小于n，因此A不可逆。
步骤 4：分析选项C
R(A)=n，意味着矩阵A的秩等于n，因此A可逆。
步骤 5：分析选项D
$A\sim E$，意味着矩阵A与单位矩阵E相似，即存在可逆矩阵P，使得$P^{-1}AP=E$，因此A可逆。但是，这仅是A可逆的充分条件，不是必要条件。
可逆矩阵是指存在一个矩阵B，使得AB=BA=E（E为单位矩阵），这样的矩阵A称为可逆矩阵，也称为非奇异矩阵。
步骤 2：分析选项A
齐次线性方程组 Ax=0 只有零解，意味着矩阵A的列向量线性无关，即矩阵A的秩等于n，因此A可逆。
步骤 3：分析选项B
齐次线性方程组 Ax=0 有非零解，意味着矩阵A的列向量线性相关，即矩阵A的秩小于n，因此A不可逆。
步骤 4：分析选项C
R(A)=n，意味着矩阵A的秩等于n，因此A可逆。
步骤 5：分析选项D
$A\sim E$，意味着矩阵A与单位矩阵E相似，即存在可逆矩阵P，使得$P^{-1}AP=E$，因此A可逆。但是，这仅是A可逆的充分条件，不是必要条件。