5.设函数z=f(x,y)具有二阶连续偏导数，在P_(0)(x_(0),y_(0))处，有f_(x)(P_(0))=0,f_(y)(P_(0))=0, f_(xx)(P_(0))=f_(yy)(P_(0))=0,f_(xy)(P_(0))=f_(yx)(P_(0))=2,则（）A. 点P_(0)是函数z的极大值点；B. 点P_(0)是函数z的极小值点；C. 点P_(0)非函数z的极值点；D. 条件不够，无法判定

本题考察二元函数极值的第二充分条件的应用。解题的核心在于正确计算判别式$\Delta = f_{xx}f_{yy} - (f_{xy})^2$，并根据其符号判断极值的存在性。关键点在于：

1. 判别式$\Delta$的计算：需代入已知的二阶偏导数值；
2. 判别规则：当$\Delta < 0$时，点$P_0$非极值点；
3. 反例验证：通过构造具体函数（如$f(x,y)=2xy$）进一步确认结论。

步骤1：计算判别式$\Delta$

根据二元函数极值的第二充分条件，判别式为：
$\Delta = f_{xx}(P_0)f_{yy}(P_0) - [f_{xy}(P_0)]^2$
代入已知条件：
$f_{xx}(P_0) = 0,\quad f_{yy}(P_0) = 0,\quad f_{xy}(P_0) = 2$
得：
$\Delta = 0 \cdot 0 - 2^2 = -4 < 0$

步骤2：应用判别规则

当$\Delta < 0$时，点$P_0$不是函数的极值点，因此排除选项A、B；由于判别式已明确为负，无需进一步分析，直接选择选项C。

步骤3：反例验证

构造函数$f(x,y) = 2xy$，其在$(0,0)$处满足：
$f_x = 2y,\quad f_y = 2x \quad \Rightarrow \quad f_x(0,0)=0,\ f_y(0,0)=0$
$f_{xx}=0,\quad f_{yy}=0,\quad f_{xy}=2$
沿直线$y=x$，$f(x,x)=2x^2 > 0$；沿直线$y=-x$，$f(x,-x)=-2x^2 < 0$。因此在任意邻域内，函数值既有正也有负，说明$(0,0)$非极值点。