题目
6.已知A、B两地相距200km,一只船从A地逆水行驶到-|||-B地,水速为 /h, 船在静水中的速度为 vkm/h (8-|||-lt vleqslant (v)_(0) ).若船每小时的燃料费与其在静水中的速度-|||-的平方成正比,当 v=12km/h 时,每小时的燃料费为-|||-720元,为了使全程燃料费最省,船的实际速度为多少?
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定每小时燃料费与速度的关系
根据题意，每小时的燃料费与其在静水中的速度的平方成正比，设比例系数为 $k(k\gt 0)$，则每小时的燃料费 $y_1$ 可以表示为 $y_1 = k v^2$。当 $v=12$ 时，$y_1=720$，可以求出比例系数 $k$。
步骤 2：计算比例系数 $k$
将 $v=12$ 和 $y_1=720$ 代入 $y_1 = k v^2$，得到 $720 = k \cdot 12^2$，解得 $k=5$。
步骤 3：确定全程燃料费的表达式
设全程燃料费为 $y$，船从A地逆水行驶到B地，水速为8km/h，船在静水中的速度为 $v$km/h，船的实际速度为 $v-8$km/h。全程燃料费 $y$ 可以表示为 $y = y_1 \cdot \frac{200}{v-8} = \frac{1000v^2}{v-8}$。
步骤 4：求全程燃料费的最小值
对全程燃料费 $y$ 求导，得到 $y' = \frac{20000(v-8)-1000v^2}{(v-8)^2} = \frac{1000v^2-16000v}{(v-8)^2}$。令 $y'=0$，解得 $v=16$。当 $v_0 \geqslant 16$ 时，$v=16$km/h 时全程燃料费最省，$y_{min}=320000$ 元；当 $v_0 < 16$ 时，$v \in (8, v_0]$，$y' < 0$，即 $y$ 在 $(8, v_0]$ 上为减函数，$v=v_0$ 时，$y_{min}=\frac{1000v_0^2}{v_0-8}$ 元。
根据题意，每小时的燃料费与其在静水中的速度的平方成正比，设比例系数为 $k(k\gt 0)$，则每小时的燃料费 $y_1$ 可以表示为 $y_1 = k v^2$。当 $v=12$ 时，$y_1=720$，可以求出比例系数 $k$。
步骤 2：计算比例系数 $k$
将 $v=12$ 和 $y_1=720$ 代入 $y_1 = k v^2$，得到 $720 = k \cdot 12^2$，解得 $k=5$。
步骤 3：确定全程燃料费的表达式
设全程燃料费为 $y$，船从A地逆水行驶到B地，水速为8km/h，船在静水中的速度为 $v$km/h，船的实际速度为 $v-8$km/h。全程燃料费 $y$ 可以表示为 $y = y_1 \cdot \frac{200}{v-8} = \frac{1000v^2}{v-8}$。
步骤 4：求全程燃料费的最小值
对全程燃料费 $y$ 求导，得到 $y' = \frac{20000(v-8)-1000v^2}{(v-8)^2} = \frac{1000v^2-16000v}{(v-8)^2}$。令 $y'=0$，解得 $v=16$。当 $v_0 \geqslant 16$ 时，$v=16$km/h 时全程燃料费最省，$y_{min}=320000$ 元；当 $v_0 < 16$ 时，$v \in (8, v_0]$，$y' < 0$，即 $y$ 在 $(8, v_0]$ 上为减函数，$v=v_0$ 时，$y_{min}=\frac{1000v_0^2}{v_0-8}$ 元。