i 1设曲面 :dfrac ({x)^2}(2)+(y)^2+dfrac ({z)^2}(4)=1 及平面 pi :2x+2y+z+5=0.-|||-(1)求曲面∑上与π平行的切平面方程;-|||-(2)求曲面∑与平面π之间的最短和最长距离.

考查要点：本题主要考查曲面切平面的求法及空间曲面与平面间距离的计算。
解题思路：

1. 切平面与平面平行：曲面在某点的切平面法向量需与给定平面的法向量平行，通过比例关系建立方程求解切点坐标。
2. 距离计算：利用平行平面间距离公式，结合曲面与平面的相对位置关系，确定最短和最长距离。

第（1）题

确定法向量比例关系

曲面 $\sum$ 的法向量为 $\nabla F = (x_0, 2y_0, \frac{z_0}{2})$，平面 $\pi$ 的法向量为 $(2, 2, 1)$。因两者平行，故存在比例常数 $k$，使得：
$\frac{x_0}{2} = \frac{2y_0}{2} = \frac{\frac{z_0}{2}}{1} = t$

求解切点坐标

由比例关系得 $x_0 = 2t$，$y_0 = t$，$z_0 = 2t$。代入曲面方程：
$\frac{(2t)^2}{2} + t^2 + \frac{(2t)^2}{4} = 1 \implies 4t^2 = 1 \implies t = \pm \frac{1}{2}$
对应切点为 $(1, \frac{1}{2}, 1)$ 和 $(-1, -\frac{1}{2}, -1)$。

写出切平面方程

以平面 $\pi$ 的法向量 $(2, 2, 1)$ 为切平面法向量，代入切点坐标：

• 对于 $(1, \frac{1}{2}, 1)$，方程为 $2(x-1) + 2(y-\frac{1}{2}) + (z-1) = 0$，化简得 $2x + 2y + z - 4 = 0$。
• 对于 $(-1, -\frac{1}{2}, -1)$，方程为 $2(x+1) + 2(y+\frac{1}{2}) + (z+1) = 0$，化简得 $2x + 2y + z + 4 = 0$。

第（2）题

平行平面间距离公式

平面 $\pi: 2x + 2y + z + 5 = 0$ 与切平面 $T_1: 2x + 2y + z - 4 = 0$ 的距离：
$d_1 = \frac{|5 - (-4)|}{\sqrt{2^2 + 2^2 + 1^2}} = \frac{9}{3} = 3$
平面 $\pi$ 与切平面 $T_2: 2x + 2y + z + 4 = 0$ 的距离：
$d_2 = \frac{|5 - 4|}{\sqrt{2^2 + 2^2 + 1^2}} = \frac{1}{3}$

结论

曲面 $\sum$ 与平面 $\pi$ 之间的最短距离为 $\frac{1}{3}$，最长距离为 $3$。