(25) int dfrac (1)(1+sqrt {1-{x)^2}}dx ;

考查要点：本题主要考查三角替换法在积分中的应用，以及利用三角恒等式简化积分表达式的能力。

解题核心思路：

1. 观察积分形式：分母中的$\sqrt{1-x^2}$提示使用三角替换$x = \sin t$，将根号转化为$\cos t$。
2. 替换变量：通过替换将积分转化为关于$t$的三角函数积分。
3. 分式拆分：将复杂分式拆分为简单分式的组合，利用半角公式进一步简化。
4. 回代变量：将积分结果从$t$转换回$x$，得到最终答案。

破题关键点：

• 三角替换的选择：正确选择$x = \sin t$简化根号。
• 分式拆分技巧：将$\frac{\cos t}{1+\cos t}$拆分为$1 - \frac{1}{1+\cos t}$。
• 半角公式的应用：将$\frac{1}{1+\cos t}$转化为$\sec^2 \frac{t}{2}$。

三角替换与变量转换

设$x = \sin t$，则$dx = \cos t \, dt$，且$\sqrt{1-x^2} = \cos t$。原积分变为：
$\int \frac{1}{1+\cos t} \cdot \cos t \, dt = \int \frac{\cos t}{1+\cos t} \, dt.$

分式拆分与简化

将分式拆分为：
$\frac{\cos t}{1+\cos t} = 1 - \frac{1}{1+\cos t}.$
因此，积分变为：
$\int \left(1 - \frac{1}{1+\cos t}\right) dt = \int dt - \int \frac{1}{1+\cos t} dt.$

处理第二个积分

利用半角公式$1+\cos t = 2\cos^2 \frac{t}{2}$，得：
$\int \frac{1}{1+\cos t} dt = \int \frac{1}{2\cos^2 \frac{t}{2}} dt = \frac{1}{2} \int \sec^2 \frac{t}{2} \, dt.$
积分结果为：
$\frac{1}{2} \cdot 2 \tan \frac{t}{2} + C = \tan \frac{t}{2} + C.$

综合结果与回代

原积分结果为：
$t - \tan \frac{t}{2} + C.$
由于$x = \sin t$，故$t = \arcsin x$，且$\tan \frac{t}{2} = \frac{\sin t}{1+\cos t} = \frac{x}{1+\sqrt{1-x^2}}$。最终结果为：
$\arcsin x - \frac{x}{1+\sqrt{1-x^2}} + C.$