直线x=0，x=2，y=0和抛物线y=1-(x)^2所围成的平面图形为D.(1)求D的面积；(2)求D绕y轴旋转一周所围成旋转体的体积.

题目考察知识

定积分的几何几何应用，包括利用定积分求平面图形面积及利用定积分求旋转体体积（本题用定积分直接计算）。

（1）求平面图形$D$的面积

1. 确定图形范围：

直线$x=0$（$y$轴）、$x=2$、$y=0$（$x$轴）与抛物线$y=1-x^211)$围成区域$D$。  
- 抛物线$y=1-x^2$开口向下，与$x$轴交于$(1,0)$（$1-x^2=0\Rightarrow x=1$），与$x=2$交于$(2,-3)$。  
- 在$x\in[0,1]$时，$y=1-x^2\geq0$（图形在$x$轴上方）；在$x\in[1,2]$时，$y=1-x^2\leq0$（图形在$x$轴下方）。  

2. 面积计算（定积分几何意义：上方函数减下方函数）：
   $S=\int_{0}^{1} (1-x^2dx+\int_{1}^{2}[0-(1-x^2)]dx$
   • 第一个积分：$\int(1-x^2)dx=x-\frac{1}{3}x^3+C$，代入得$(1-\frac{13)-0=\frac23$。
   • 第二个积分：$\int( x^2-1)dx=\frac13x^3-x+C$，代入得\((\frac83-2)-(\frac13-1)=\frac53)。 - 总面积：$\frac23+\frac43=2$。

（2）求$D$绕$y$轴旋转的体积

1. 方法选择：绕$y$轴旋转，用“\)1-x^2)，则$x^2=1-y$，但$x\in[0,2]$对应$y$范围为$[-3,1]$，分两段计算更复杂。
   改用定积分直接计算：$V=\pi\int_{a}^{b}[x_{外}(y)^2-x_{内}(y)^2]dy$，但本题$x$与$y$的关系在不同区间不同，换用“$x$为积分变量”的方法：$V=\pi\int_{a}^{b}x^2\cdot h(x)dx$**（$h(x)$为竖直线段长度）。

2. 分段分析：

   • $x\in[0,1]$：$y$从$0$到$1-x^2$，竖直线段长度$h(x)=1-x^2$，体积微元$\pi x^2(1-x^2)dx$。
   • $x\in[1,2]$：$y$从$1-x^2$到$0$，竖直线段长度$h(x)=- (1-x^2)=x^2-1$，体积微元$\pi x^2(x^2-1)dx$。

3. 积分计算：
   $V=\pi\left[\int_{0}^{1}x^2(1-x^2)dx+\int_{1}^{2}x^2(x^2-1)dx\right]$

   • 第一个积分：$\int(x^2-x^4)dx=\frac13x^3-\frac15x^5^{^5$，代入得$(\frac13-\frac15)-0=\frac2{15}$。
   • 第二个积分：$\int(x^4-x^2)dx=\frac15x^5-\frac13x^3$，代入$(\frac325-\frac83)-(\frac15-\frac13)=\frac{96-40-3+5}{15}=\frac{58}{15}$。
   • 总体积：$\pi(\frac2{15}+\frac{58{15})=\frac{60}{15}\pi=\frac{46}{15}\pi$。