题目
(本题满分10分)证明:(1)对任意正整数,都有(2)设,证明数列收敛
(本题满分10分)证明:(1)对任意正整数
,都有
(2)设
,证明数列
收敛
题目解答
答案
[解析]:(1)令
,则原不等式可化为
。
先证明
:
令
。由于
,可知
在
上单调递增。又由于
,因此当
时,
。也即。
再证明
:
令
。由于
,可知
在上单调递增。由于
,因此当时,
。也即。
因此,我们证明了。再令由于,即可得到所需证明的不等式。
(2)
,由不等式
可知:数列
单调递减。
又由不等式
可知:
。
因此数列是有界的。故由单调有界收敛定理可知:数列收敛。
解析
步骤 1：证明不等式 $\dfrac {1}{n+1}\lt \ln (1+\dfrac {1}{n})\lt \dfrac {1}{n}$
令 $\dfrac {1}{n}=x$，则原不等式可化为 $\dfrac {x}{x+1}\lt \ln (1+x)\lt x$，其中 $x\gt 0$。
先证明 $\ln (1+x)\lt x$，$x\gt 0$：
令 $f(x)=x-\ln (1+x)$。由于 $f'(x)=1-\dfrac {1}{1+x}\gt 0$，$x\gt 0$，可知 $f(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 上单调递增。又由于 $f(0)=0$，因此当 $0\lt x$ 时，$f(x)\gt f(0)=0$。也即 $\ln (1+x)\lt x$，$x\gt 0$。
再证明 $\dfrac {x}{x+1}\lt \ln (1+x)$，$x\gt 0$：
令 $g(x)=\ln (1+x)-\dfrac {x}{x+1}$。由于 $g'(x)=\dfrac {1}{1+x}-\dfrac {1}{{(1+x)}^{2}}\gt 0$，$x\gt 0$，可知 $g(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 上单调递增。由于 $g(0)=0$，因此当 $0\lt x$ 时，$g(x)\gt g(0)=0$。也即 $\dfrac {x}{x+1}\lt \ln (1+x)$，$x\gt 0$。
因此，我们证明了 $\dfrac {x}{x+1}\lt \ln (1+x)\lt x$，$x\gt 0$。再令 $x=\dfrac {1}{n}$，即可得到所需证明的不等式。
步骤 2：证明数列 $\{a_n\}$ 收敛
${a}_{n+1}-{a}_{n}=\dfrac {1}{n+1}-\ln (1+\dfrac {1}{n})$，由不等式 $\dfrac {1}{n+1}\lt \ln (1+\dfrac {1}{n})$ 可知：数列 $\{a_n\}$ 单调递减。
又由不等式 $\ln (1+\dfrac {1}{n})\lt \dfrac {1}{n}$ 可知：
${a}_{n+1}-{a}_{n}=\dfrac {1}{n+1}-\ln (1+\dfrac {1}{n})\gt \dfrac {1}{n+1}-\dfrac {1}{n}=-\dfrac {1}{n(n+1)}$。
因此数列 $\{a_n\}$ 是有界的。故由单调有界收敛定理可知：数列 $\{a_n\}$ 收敛。
令 $\dfrac {1}{n}=x$，则原不等式可化为 $\dfrac {x}{x+1}\lt \ln (1+x)\lt x$，其中 $x\gt 0$。
先证明 $\ln (1+x)\lt x$，$x\gt 0$：
令 $f(x)=x-\ln (1+x)$。由于 $f'(x)=1-\dfrac {1}{1+x}\gt 0$，$x\gt 0$，可知 $f(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 上单调递增。又由于 $f(0)=0$，因此当 $0\lt x$ 时，$f(x)\gt f(0)=0$。也即 $\ln (1+x)\lt x$，$x\gt 0$。
再证明 $\dfrac {x}{x+1}\lt \ln (1+x)$，$x\gt 0$：
令 $g(x)=\ln (1+x)-\dfrac {x}{x+1}$。由于 $g'(x)=\dfrac {1}{1+x}-\dfrac {1}{{(1+x)}^{2}}\gt 0$，$x\gt 0$，可知 $g(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 上单调递增。由于 $g(0)=0$，因此当 $0\lt x$ 时，$g(x)\gt g(0)=0$。也即 $\dfrac {x}{x+1}\lt \ln (1+x)$，$x\gt 0$。
因此，我们证明了 $\dfrac {x}{x+1}\lt \ln (1+x)\lt x$，$x\gt 0$。再令 $x=\dfrac {1}{n}$，即可得到所需证明的不等式。
步骤 2：证明数列 $\{a_n\}$ 收敛
${a}_{n+1}-{a}_{n}=\dfrac {1}{n+1}-\ln (1+\dfrac {1}{n})$，由不等式 $\dfrac {1}{n+1}\lt \ln (1+\dfrac {1}{n})$ 可知：数列 $\{a_n\}$ 单调递减。
又由不等式 $\ln (1+\dfrac {1}{n})\lt \dfrac {1}{n}$ 可知：
${a}_{n+1}-{a}_{n}=\dfrac {1}{n+1}-\ln (1+\dfrac {1}{n})\gt \dfrac {1}{n+1}-\dfrac {1}{n}=-\dfrac {1}{n(n+1)}$。
因此数列 $\{a_n\}$ 是有界的。故由单调有界收敛定理可知：数列 $\{a_n\}$ 收敛。