题目
设y1(x),y2(x)是二阶常系数齐次线性方程的两个解,则 _(1)(y)_(1)(x)+-|||-C2y2(x)是该方程通解的充要条件是 __
题目解答
答案
解析
步骤 1：理解二阶常系数齐次线性方程的解的性质
二阶常系数齐次线性方程的一般形式为 $ay'' + by' + cy = 0$，其中 $a, b, c$ 是常数。如果 $y_1(x)$ 和 $y_2(x)$ 是该方程的两个线性无关的解，则方程的通解可以表示为 $y(x) = C_1y_1(x) + C_2y_2(x)$，其中 $C_1$ 和 $C_2$ 是任意常数。
步骤 2：确定线性无关的条件
两个函数 $y_1(x)$ 和 $y_2(x)$ 线性无关的充要条件是它们的比值 $\frac{y_1(x)}{y_2(x)}$ 不是常数。如果 $\frac{y_1(x)}{y_2(x)}$ 是常数，则 $y_1(x)$ 和 $y_2(x)$ 线性相关，不能构成方程的通解。
步骤 3：总结充要条件
因此，${C}_{1}{y}_{1}(x)+$ C2y2(x) 是该方程通解的充要条件是 $y_1(x)$ 和 $y_2(x)$ 线性无关，即 $\frac{y_1(x)}{y_2(x)}$ 不是常数。
二阶常系数齐次线性方程的一般形式为 $ay'' + by' + cy = 0$，其中 $a, b, c$ 是常数。如果 $y_1(x)$ 和 $y_2(x)$ 是该方程的两个线性无关的解，则方程的通解可以表示为 $y(x) = C_1y_1(x) + C_2y_2(x)$，其中 $C_1$ 和 $C_2$ 是任意常数。
步骤 2：确定线性无关的条件
两个函数 $y_1(x)$ 和 $y_2(x)$ 线性无关的充要条件是它们的比值 $\frac{y_1(x)}{y_2(x)}$ 不是常数。如果 $\frac{y_1(x)}{y_2(x)}$ 是常数，则 $y_1(x)$ 和 $y_2(x)$ 线性相关，不能构成方程的通解。
步骤 3：总结充要条件
因此，${C}_{1}{y}_{1}(x)+$ C2y2(x) 是该方程通解的充要条件是 $y_1(x)$ 和 $y_2(x)$ 线性无关，即 $\frac{y_1(x)}{y_2(x)}$ 不是常数。