5-31 两个同心球面的半径分别为R1和R2,各自带有电荷-|||-Q1和Q2·求:(1)各区域电势的分布,并画出分布曲线;(2)两球 -a a x-|||-面上的电势差.

考查要点：本题主要考查同心球面电势的叠加计算及电势差的求解，需掌握球对称电荷分布的电势公式，并理解不同区域电势的叠加规律。

解题核心思路：

1. 分区域讨论：将空间划分为三个区域（$r < R_1$，$R_1 < r < R_2$，$r > R_2$），分别计算各区域的电势。
2. 电势叠加原理：每个区域的总电势为两个球面电荷产生的电势之和。
3. 电势差计算：直接取两球面处的电势之差，注意电势是标量，直接相加减。

破题关键点：

• 球壳电势特性：球壳内部任意点的电势为$kQ/R$，外部为$kQ/r$。
• 电势差的独立性：计算两球面电势差时，外球面电荷$Q_2$的贡献在两球面处相等，相减后抵消。

(1) 各区域电势的分布

区域 $r < R_1$

• 内球面电势：$k\frac{Q_1}{R_1}$（内部电势为$kQ/R$）。
• 外球面电势：$k\frac{Q_2}{R_2}$（点在$Q_2$内部）。
• 总电势：
  $V(r) = k\frac{Q_1}{R_1} + k\frac{Q_2}{R_2}.$

区域 $R_1 < r < R_2$

• 内球面电势：$k\frac{Q_1}{r}$（点在$Q_1$外部）。
• 外球面电势：$k\frac{Q_2}{R_2}$（点仍在$Q_2$内部）。
• 总电势：
  $V(r) = k\frac{Q_1}{r} + k\frac{Q_2}{R_2}.$

区域 $r > R_2$

• 两球面电势：均表现为点电荷电势。
• 总电势：
  $V(r) = k\frac{Q_1 + Q_2}{r}.$

(2) 两球面间的电势差

• 内球面电势：$V(R_1) = k\frac{Q_1}{R_1} + k\frac{Q_2}{R_2}$。
• 外球面电势：$V(R_2) = k\frac{Q_1}{R_2} + k\frac{Q_2}{R_2}$。
• 电势差：
  $\Delta V = V(R_1) - V(R_2) = k\left(\frac{Q_1}{R_1} - \frac{Q_1}{R_2}\right).$