28. (2.0分) 设L为光滑曲线，f(x,y)为连续函数，则存在点(xi,eta)in L，使得int_(L)f(x,y)ds=f(xi,eta)cdot l，其中l为曲线L的长.A. 对B. 错

本题考查第一类曲线积分的中值定理。

解题思路如下：

1. 首先明确第一类曲线积分的定义：设函数$f(x,y)$在分段光滑曲线$L$上有界，将曲线$L$任意分成$n$个小弧段$\Delta s_i$（$i = 1,2,\cdots,n$），在每个小弧段$\Delta s_i$上任取一点$(\xi_i,\eta_i)$，作和式$\sum_{i = 1}^{n}f(\xi_i,\eta_i)\Delta s_i$，当$\lambda=\max\{\Delta s_1,\Delta s_2,\cdots,\Delta s_n\}\to0$时，若和式的极限存在，则称此极限为函数$f(x,y)$在曲线$L$上对弧长的曲线积分，记作$\int_{L}f(x,y)ds$。
2. 因为$f(x,y)$在光滑曲线$L$上连续，根据闭区间上连续函数的性质，$f(x,y)$在$L$上能取得最大值$M$和最小值$m$。
3. 对于曲线$L$上的任意一点$(x,y)$，都有$m\leq f(x,y)\leq M$。
4. 对不等式两边同时乘以弧长元素$ds$并在曲线$L$上积分，根据曲线积分的性质可得：
   • $\int_{L}mds\leq\int_{L}f(x,y)ds\leq\int_{L}Mds$。
   • 由于$m$和$M$是常数，根据曲线积分的性质$\int_{L}kds = k\int_{L}ds$（$k$为常数），而$\int_{L}ds$表示曲线$L$的弧长$l$，所以$m\int_{L}ds = ml$，$M\int_{L}ds = Ml$，则$ml\leq\int_{L}f(x,y)ds\leq Ml$。
   • 两边同时除以$l$（$l>0$，因为$L$是光滑曲线，有确定的弧长），得到$m\leq\frac{1}{l}\int_{L}f(x,y)ds\leq M$。
5. 再根据闭区间上连续函数的介值定理，因为$f(x,y)$在$L$上连续，且$\frac{1}{l}\int_{L}f(x,y)ds$介于$f(x,y)$的最大值$M$和最小值$m$之间，所以存在点$(\xi,\eta)\in L$，使得$f(\xi,\eta)=\frac{1}{l}\int_{L}f(x,y)ds$，即$\int_{L}f(x,y)ds=f(\xi,\eta)\cdot l$。