题目
设=sqrt (1-{x)^2-(y)^2}的下侧，则=sqrt (1-{x)^2-(y)^2}()A.=sqrt (1-{x)^2-(y)^2}B.=sqrt (1-{x)^2-(y)^2}C.=sqrt (1-{x)^2-(y)^2}D.=sqrt (1-{x)^2-(y)^2}
设
的下侧，则
()
A.
B.
C.
D.
题目解答
答案
补面：
，取上侧，
在
面的投影域记为
，
构成封闭曲面，其法向量指向内侧，围成的闭区域记为
，设
则
，对
使用高斯公式，则
，所以
，故C正确。
综上所述故选C
解析
步骤 1：补面
补面：${\sum }_{1}=\{ (x,y,z)|{x}^{2}+{y}^{2}\leqslant 1,z=0\} $，取上侧，∑1在$x{y}^{2}$面的投影域记为D1，∑∪∑1构成封闭曲面，其法向量指向内侧，∑∪∑1围成的闭区域记为Ω。
步骤 2：设I
设I= $\int yzdydz-{x}^{2}zdx+(z+2)dxdy$${I}_{1}={\int }_{y}zxdyz{x}_{z}-{x}^{2}zdx+(z+2)dxdy$
${I}_{2}=$ $\int yzdydz-{x}^{2}zdx+(z+2)dxdy$
步骤 3：计算I
则$I={I}_{1}-{I}_{2}$，对一使用高斯公式，则${I}_{1}=-\iint (\dfrac {\partial P}{\partial x}+\dfrac {\partial Q}{\partial y}+\dfrac {\partial R}{\partial z})dv$
=-1 $\int dv=-\dfrac {1}{2}\times \dfrac {4}{3}\pi =-\dfrac {2}{3}\pi $ Ω
${I}_{2}=$ 2dxdy =2π ${D}_{1}$，所以$I={I}_{1}-{I}_{2}=-\dfrac {2}{3}\pi -2\pi =-\dfrac {8}{3}\pi $，故C正确。
补面：${\sum }_{1}=\{ (x,y,z)|{x}^{2}+{y}^{2}\leqslant 1,z=0\} $，取上侧，∑1在$x{y}^{2}$面的投影域记为D1，∑∪∑1构成封闭曲面，其法向量指向内侧，∑∪∑1围成的闭区域记为Ω。
步骤 2：设I
设I= $\int yzdydz-{x}^{2}zdx+(z+2)dxdy$${I}_{1}={\int }_{y}zxdyz{x}_{z}-{x}^{2}zdx+(z+2)dxdy$
${I}_{2}=$ $\int yzdydz-{x}^{2}zdx+(z+2)dxdy$
步骤 3：计算I
则$I={I}_{1}-{I}_{2}$，对一使用高斯公式，则${I}_{1}=-\iint (\dfrac {\partial P}{\partial x}+\dfrac {\partial Q}{\partial y}+\dfrac {\partial R}{\partial z})dv$
=-1 $\int dv=-\dfrac {1}{2}\times \dfrac {4}{3}\pi =-\dfrac {2}{3}\pi $ Ω
${I}_{2}=$ 2dxdy =2π ${D}_{1}$，所以$I={I}_{1}-{I}_{2}=-\dfrac {2}{3}\pi -2\pi =-\dfrac {8}{3}\pi $，故C正确。