题目
18.设z=z(x,y)是由方程e^z=xy+yz+zx所确定的函数，求全微分dz.
18.设z=z(x,y)是由方程$e^{z}=xy+yz+zx$所确定的函数，求全微分dz.
题目解答
答案
对等式 $e^z = xy + yz + zx$ 求全微分：
\[
d(e^z) = d(xy + yz + zx) \implies e^z dz = (y + z)dx + (x + z)dy + (y + x)dz
\]
整理得：
\[
(e^z - y - x)dz = (y + z)dx + (x + z)dy
\]
解得全微分：
\[
dz = \frac{(y + z)dx + (x + z)dy}{e^z - x - y}
\]
**答案：**
\[
\boxed{\frac{(y + z)dx + (x + z)dy}{e^z - x - y}}
\]
解析
步骤 1：对等式两边求全微分
对等式 $e^z = xy + yz + zx$ 求全微分，得到：\[ d(e^z) = d(xy + yz + zx) \]
步骤 2：应用全微分公式
根据全微分公式，有：\[ e^z dz = (y + z)dx + (x + z)dy + (y + x)dz \]
步骤 3：整理并求解dz
整理上式，得到：\[ (e^z - y - x)dz = (y + z)dx + (x + z)dy \] 解得全微分：\[ dz = \frac{(y + z)dx + (x + z)dy}{e^z - x - y} \]
对等式 $e^z = xy + yz + zx$ 求全微分，得到：\[ d(e^z) = d(xy + yz + zx) \]
步骤 2：应用全微分公式
根据全微分公式，有：\[ e^z dz = (y + z)dx + (x + z)dy + (y + x)dz \]
步骤 3：整理并求解dz
整理上式，得到：\[ (e^z - y - x)dz = (y + z)dx + (x + z)dy \] 解得全微分：\[ dz = \frac{(y + z)dx + (x + z)dy}{e^z - x - y} \]