题目
[题目]设 sim N(0,1), 求 =2(X)^2+1 的概率密度
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定 $X$ 的概率密度函数
已知 $X\sim N(0,1)$，即 $X$ 服从标准正态分布，其概率密度函数为：
$${f}_{x}(x)=\dfrac {1}{\sqrt {2\pi }}{e}^{-\dfrac {{x}^{2}}{2}}$$
步骤 2：确定 $Y$ 的分布函数
$Y=2{X}^{2}+1$，则 $Y$ 的分布函数为：
$${F}_{y}(y)=P\{Y\leqslant y\}=P\{2{X}^{2}+1\leqslant y\}=P\{{X}^{2}\leqslant \dfrac {y-1}{2}\}$$
步骤 3：计算 $Y$ 的分布函数
当 $y<1$ 时，${F}_{y}(y)=0$。
当 $y\geqslant 1$ 时，${F}_{y}(y)=P(-\sqrt {\dfrac {y-1}{2}}\leqslant x\leqslant \sqrt {\dfrac {y-1}{2}})=2{\int }_{0}^{\sqrt {\dfrac {y-1}{2}}}{f}_{x}(x)dx$。
步骤 4：计算 $Y$ 的概率密度函数
${f}_{y}(y)=\dfrac {d}{dy}{F}_{y}(y)$，当 $y\geqslant 1$ 时，${f}_{y}(y)=\dfrac {1}{2\sqrt {(y-1)\pi }}{e}^{-\dfrac {y-1}{4}}$。
已知 $X\sim N(0,1)$，即 $X$ 服从标准正态分布，其概率密度函数为：
$${f}_{x}(x)=\dfrac {1}{\sqrt {2\pi }}{e}^{-\dfrac {{x}^{2}}{2}}$$
步骤 2：确定 $Y$ 的分布函数
$Y=2{X}^{2}+1$，则 $Y$ 的分布函数为：
$${F}_{y}(y)=P\{Y\leqslant y\}=P\{2{X}^{2}+1\leqslant y\}=P\{{X}^{2}\leqslant \dfrac {y-1}{2}\}$$
步骤 3：计算 $Y$ 的分布函数
当 $y<1$ 时，${F}_{y}(y)=0$。
当 $y\geqslant 1$ 时，${F}_{y}(y)=P(-\sqrt {\dfrac {y-1}{2}}\leqslant x\leqslant \sqrt {\dfrac {y-1}{2}})=2{\int }_{0}^{\sqrt {\dfrac {y-1}{2}}}{f}_{x}(x)dx$。
步骤 4：计算 $Y$ 的概率密度函数
${f}_{y}(y)=\dfrac {d}{dy}{F}_{y}(y)$，当 $y\geqslant 1$ 时，${f}_{y}(y)=\dfrac {1}{2\sqrt {(y-1)\pi }}{e}^{-\dfrac {y-1}{4}}$。