题目
6.(单选题)(三角函数基础118)已知 sin alpha -3cos alpha =0 且α是第三象限角,则 sin alpha -cos alpha 的值为() ()-|||-A dfrac (4sqrt {10)}(5)-|||-B dfrac (4sqrt {10)}(5)-|||-C dfrac (sqrt {10)}(5)-|||-D dfrac (sqrt {10)}(5)
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定 $\tan \alpha$ 的值
已知 $\sin \alpha - 3\cos \alpha = 0$，可以将等式两边同时除以 $\cos \alpha$，得到 $\tan \alpha - 3 = 0$，从而 $\tan \alpha = 3$。
步骤 2：确定 $\sin \alpha$ 和 $\cos \alpha$ 的值
由于 $\alpha$ 是第三象限角，$\sin \alpha$ 和 $\cos \alpha$ 都是负值。根据 $\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = 3$，设 $\sin \alpha = -3k$，$\cos \alpha = -k$，其中 $k > 0$。根据 $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$，代入得到 $(-3k)^2 + (-k)^2 = 1$，即 $10k^2 = 1$，从而 $k = \frac{1}{\sqrt{10}}$。因此，$\sin \alpha = -\frac{3}{\sqrt{10}}$，$\cos \alpha = -\frac{1}{\sqrt{10}}$。
步骤 3：计算 $3\sin \alpha - \cos \alpha$
将 $\sin \alpha$ 和 $\cos \alpha$ 的值代入 $3\sin \alpha - \cos \alpha$，得到 $3\sin \alpha - \cos \alpha = 3(-\frac{3}{\sqrt{10}}) - (-\frac{1}{\sqrt{10}}) = -\frac{9}{\sqrt{10}} + \frac{1}{\sqrt{10}} = -\frac{8}{\sqrt{10}} = -\frac{4\sqrt{10}}{5}$。
已知 $\sin \alpha - 3\cos \alpha = 0$，可以将等式两边同时除以 $\cos \alpha$，得到 $\tan \alpha - 3 = 0$，从而 $\tan \alpha = 3$。
步骤 2：确定 $\sin \alpha$ 和 $\cos \alpha$ 的值
由于 $\alpha$ 是第三象限角，$\sin \alpha$ 和 $\cos \alpha$ 都是负值。根据 $\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = 3$，设 $\sin \alpha = -3k$，$\cos \alpha = -k$，其中 $k > 0$。根据 $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$，代入得到 $(-3k)^2 + (-k)^2 = 1$，即 $10k^2 = 1$，从而 $k = \frac{1}{\sqrt{10}}$。因此，$\sin \alpha = -\frac{3}{\sqrt{10}}$，$\cos \alpha = -\frac{1}{\sqrt{10}}$。
步骤 3：计算 $3\sin \alpha - \cos \alpha$
将 $\sin \alpha$ 和 $\cos \alpha$ 的值代入 $3\sin \alpha - \cos \alpha$，得到 $3\sin \alpha - \cos \alpha = 3(-\frac{3}{\sqrt{10}}) - (-\frac{1}{\sqrt{10}}) = -\frac{9}{\sqrt{10}} + \frac{1}{\sqrt{10}} = -\frac{8}{\sqrt{10}} = -\frac{4\sqrt{10}}{5}$。