(4)设随机变量X和Y的数学期望都是2,方差分别为1和4,相关系数为0.5,则根-|||-据切比雪夫不等式, |X-Y|geqslant 6 leqslant __

考查要点：本题主要考查切比雪夫不等式的应用，以及随机变量线性组合的期望与方差的计算。关键在于构造合适的随机变量，并正确计算其方差。

解题核心思路：

1. 构造新随机变量：令$Z = X - Y$，利用题目给出的条件计算$Z$的期望和方差。
2. 应用切比雪夫不等式：将不等式$P\{ |Z| \geqslant 6 \}$转化为关于$Z$的标准差的形式，代入不等式求解上界。

破题关键点：

• 期望与方差的性质：$E(Z) = E(X) - E(Y)$，$D(Z) = D(X) + D(Y) - 2\text{Cov}(X,Y)$。
• 相关系数与协方差的关系：$\text{Cov}(X,Y) = \rho \sigma_X \sigma_Y$，其中$\rho$为相关系数，$\sigma_X$和$\sigma_Y$为标准差。

步骤1：构造随机变量$Z = X - Y$

• 期望：$E(Z) = E(X) - E(Y) = 2 - 2 = 0$。
• 方差：
  $D(Z) = D(X) + D(Y) - 2\text{Cov}(X,Y).$
  其中，$\text{Cov}(X,Y) = \rho \sigma_X \sigma_Y = 0.5 \times 1 \times 2 = 1$，因此：
  $D(Z) = 1 + 4 - 2 \times 1 = 3.$

步骤2：应用切比雪夫不等式

切比雪夫不等式为：
$P\{ |Z - E(Z)| \geqslant k\sigma_Z \} \leqslant \frac{1}{k^2},$
其中$\sigma_Z = \sqrt{D(Z)} = \sqrt{3}$。
将$|Z| \geqslant 6$代入，得：
$k = \frac{6}{\sigma_Z} = \frac{6}{\sqrt{3}} = 2\sqrt{3}.$
因此：
$P\{ |Z| \geqslant 6 \} \leqslant \frac{1}{(2\sqrt{3})^2} = \frac{1}{12}.$