24、设顾客在某银行的窗口等待服务的时间X(以分计)服从指数分-|||-布,其概率密度为:-|||-Fx(x)=( { {e)^-dfrac (x{5)},xgt 0 0. .-|||-某顾客在窗口等待服务,若超过10分钟他就离开.他一个月要到银行-|||-5次.以Y表示一个月内他未等到服务而离开窗口的次数,写出Y的分布律.-|||-并求 (Ygeqslant 1) .

考查要点：本题主要考查指数分布的概率计算和二项分布的应用。
解题思路：

1. 确定单次事件概率：计算顾客一次等待超过10分钟的概率，即指数分布的生存函数值。
2. 建立二项分布模型：将5次独立等待视为独立试验，未等到服务的次数$Y$服从二项分布。
3. 计算目标概率：利用二项分布的性质，通过补集求$P(Y \geqslant 1)$。

1. 计算单次离开的概率

顾客等待时间$X \sim \text{指数分布}(\lambda = \frac{1}{5})$，其概率密度函数为：
$f_X(x) = \begin{cases} \frac{1}{5}e^{-\frac{x}{5}}, & x > 0, \\0, & \text{其他}.\end{cases}$
单次未等到服务的概率为：
$P(X > 10) = \int_{10}^{+\infty} \frac{1}{5}e^{-\frac{x}{5}} dx = e^{-\frac{10}{5}} = e^{-2}.$

2. 确定$Y$的分布

一个月内独立尝试5次，每次未等到服务的概率为$p = e^{-2}$，因此$Y$服从二项分布：
$Y \sim B\left(5, e^{-2}\right).$
分布律为：
$P(Y = k) = \binom{5}{k} \left(e^{-2}\right)^k \left(1 - e^{-2}\right)^{5 - k}, \quad k = 0, 1, 2, 3, 4, 5.$

3. 计算$P(Y \geqslant 1)$

利用二项分布的补集性质：
$P(Y \geqslant 1) = 1 - P(Y = 0) = 1 - \left(1 - e^{-2}\right)^5.$
代入数值计算：
$1 - e^{-2} \approx 0.8647, \quad \left(0.8647\right)^5 \approx 0.4833, \quad P(Y \geqslant 1) \approx 1 - 0.4833 = 0.5167.$