题目
设 4 阶行列式的第三行元素依次为 2，4，-1，9，第三行元素的代数余子式依次为 2，4，1，2，则其行列式值为
设 4 阶行列式的第三行元素依次为 2，4，-1，9，第三行元素的代数余子式依次为 2，4，1，2，则其行列式值为
题目解答
答案
首先知道行列式按行展开定理：行列式等于某一行的元素分别与它们对应的代数余子式乘积之和。
题中已知4 阶行列式的第三行元素依次为 2，4，-1，9；对应的代数余子式依次为 2，4，1，2
根据行列式按行展开定理：
综上，该行列式的值为37
解析
步骤 1：行列式按行展开定理
行列式按行展开定理指出，行列式等于某一行的元素分别与它们对应的代数余子式乘积之和。即对于一个 $n$ 阶行列式 $D$，如果选择第 $i$ 行，则有：
\[ D = a_{i1}A_{i1} + a_{i2}A_{i2} + \cdots + a_{in}A_{in} \]
其中，$a_{ij}$ 是第 $i$ 行第 $j$ 列的元素，$A_{ij}$ 是 $a_{ij}$ 的代数余子式。
步骤 2：应用行列式按行展开定理
题目中给出的 4 阶行列式的第三行元素依次为 2，4，-1，9，对应的代数余子式依次为 2，4，1，2。根据行列式按行展开定理，可以将行列式 $D$ 表示为：
\[ D = 2 \times 2 + 4 \times 4 + (-1) \times 1 + 9 \times 2 \]
步骤 3：计算行列式的值
根据步骤 2 中的表达式，计算行列式的值：
\[ D = 2 \times 2 + 4 \times 4 + (-1) \times 1 + 9 \times 2 = 4 + 16 - 1 + 18 = 37 \]
行列式按行展开定理指出，行列式等于某一行的元素分别与它们对应的代数余子式乘积之和。即对于一个 $n$ 阶行列式 $D$，如果选择第 $i$ 行，则有：
\[ D = a_{i1}A_{i1} + a_{i2}A_{i2} + \cdots + a_{in}A_{in} \]
其中，$a_{ij}$ 是第 $i$ 行第 $j$ 列的元素，$A_{ij}$ 是 $a_{ij}$ 的代数余子式。
步骤 2：应用行列式按行展开定理
题目中给出的 4 阶行列式的第三行元素依次为 2，4，-1，9，对应的代数余子式依次为 2，4，1，2。根据行列式按行展开定理，可以将行列式 $D$ 表示为：
\[ D = 2 \times 2 + 4 \times 4 + (-1) \times 1 + 9 \times 2 \]
步骤 3：计算行列式的值
根据步骤 2 中的表达式，计算行列式的值：
\[ D = 2 \times 2 + 4 \times 4 + (-1) \times 1 + 9 \times 2 = 4 + 16 - 1 + 18 = 37 \]