题目
两个质点各自作简谐运动，它们的振幅相同、周期相同。第一个质点的振动方程为 x_1 = A cos (omega t + theta)。当第一个质点从相对于其平衡位置的正位移处回到平衡位置时，第二个质点正在最大负位移处，则第二个质点的振动方程为 x_2 = __________。
两个质点各自作简谐运动，它们的振幅相同、周期相同。第一个质点的振动方程为 $x_1 = A \cos (\omega t + \theta)$。当第一个质点从相对于其平衡位置的正位移处回到平衡位置时，第二个质点正在最大负位移处，则第二个质点的振动方程为 $x_2 = \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_$。
题目解答
答案
根据题意，当 $ x_1 = 0 $ 且 $ v_1 > 0 $ 时，$ \omega t + \theta = \frac{3\pi}{2} $。此时，$ x_2 = -A $，即：
\[
\omega t + \phi = \pi + 2m\pi
\]
将 $ \omega t = \frac{3\pi}{2} - \theta $ 代入，得：
\[
\phi = \theta - \frac{\pi}{2}
\]
因此，第二个质点的振动方程为：
\[
x_2 = A \cos\left(\omega t + \theta - \frac{\pi}{2}\right) = A \sin(\omega t + \theta)
\]
最终结果为：
\[
x_2 = A \cos\left(\omega t + \theta - \frac{\pi}{2}\right)
\]
或
\[
x_2 = A \sin(\omega t + \theta)
\]
解析
本题考查简谐运动的振动方程相关相关知识。解题的关键思路是先根据第一个质点的运动状态确定其相位，再结合第二个质点此时的位置确定其相位，进而得出第二个质点的振动方程。
- 首先分析第一个质点的的运动状态：
- 已知第一个质点的振动方程为$x_1 = A\cos(\omega t + \theta)$，当第一个质点从相对于其平衡位置的正位移处回到平衡位置时，此时$x_1 = = 0$，且速度$v_1>0$。
- 对$x_1 = A\cos(\omega t+\theta)$求导可得速度$v_1$的表达式，根据求导公式$(\cos u)^\prime=-\sin u\cdot u^\prime$，这里$u = \omega t+\theta$，$u^\prime=\omega$，所以$v_1=\frac{dx_1}{dt}=-A\omega\sin(\omega t + \theta)$>)。
- 因为$x_1 = A\cos(\omega t+\theta)=0$，所以$\omega t+\theta=\frac{\pi}{2}+k\pi,k\in Z$。又因为$v_1=-A\omega\sin(\omega t+\theta)>0$，即$\sin(\omega t+\theta)<0$，所以$\omega t+\theta=\frac{frac{3\pi}{2}+2m\pi,m\in Z$。
- 然后分析第二个质点的相位：
- 已知第二个质点正在最大负位移处，即$x_2=-A$。设第二个质点的振动方程为$x_2 = A\cos(\omega t+\phi)$，那么$x_2 = A\cos(\omega t+\phi)=-A$，即$\cos(\omega t+\phi)= - 1$，所以$\omega t+\phi=\pi + 2n\pi,n\in Z$。
- 最后确定第二个质点振动方程中的相位$\phi$：
- 由前面得到当第一个质点处于相应状态时$\omega t+\theta=\frac{3\pi}{2}+2m\pi$，则$\omega t=\=\frac{3\pi}{2}-\theta$。
- 将$\omega t=\frac{3\pi}{2}-\theta$代入$\omega t+\phi=\pi + 2n\pi$中，可得$\frac{3\pi}{2}-\theta+\phi=\pi + 2n\pi$。
- 移项可得$\phi=\theta-\frac{\pi}{2}+2n\pi$，通常取$n = 0$，即$\phi=\theta-\frac{\pi}{2}$。
- 所以第二个质点的振动方程为$x_2 = A\cos(\omega t+\theta-\frac{\pi}{2})$。
- 根据三角函数中$\cos(\alpha-\frac{\pi}{2})=\sin\alpha$，所以$x_2 = A\cos(\omega t+\theta-\frac{\pi}{2})=A\sin(\omega t+\theta)$。