设(x)=(e)^2xtan x, 则(x)=(e)^2xtan x . (x)=(e)^2xtan x(x)=(e)^2xtan x(x)=(e)^2xtan x(x)=(e)^2xtan x

考查要点：本题主要考查导数的计算，特别是乘积法则的应用，以及二阶导数的求解。同时，题目中涉及指数函数与三角函数的复合求导，需要熟练掌握基本导数公式。

解题核心思路：

1. 一阶导数：利用乘积法则对$f(x)=e^{2x}\tan x$求导，得到$f'(x)$。
2. 二阶导数：对$f'(x)$再次求导，或利用导数的定义式计算$f''(0)$。
3. 代入$x=0$：注意$\tan 0=0$，$\sec 0=1$，$e^0=1$，简化计算。

破题关键点：

• 乘积法则的正确应用，避免符号或系数错误。
• 极限化简技巧，如利用$\tan x \sim x$（当$x \to 0$时）简化表达式。

步骤1：求一阶导数$f'(x)$
根据乘积法则：
$\begin{aligned}f'(x) &= \frac{d}{dx}\left(e^{2x}\right) \cdot \tan x + e^{2x} \cdot \frac{d}{dx}(\tan x) \\&= 2e^{2x} \tan x + e^{2x} \sec^2 x \\&= e^{2x} \tan x (2 + \tan x) + e^{2x}.\end{aligned}$

步骤2：计算$f'(0)$
代入$x=0$：
$f'(0) = e^{0} \cdot 0 \cdot (2 + 0) + e^{0} = 0 + 1 = 1.$

步骤3：利用导数定义求$f''(0)$
根据二阶导数定义：
$f''(0) = \lim_{x \to 0} \frac{f'(x) - f'(0)}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{e^{2x} \tan x (2 + \tan x) + e^{2x} - 1}{x}.$

步骤4：拆分极限并化简
将分子拆分为两部分：
$\begin{aligned}f''(0) &= \lim_{x \to 0} \left[ \frac{e^{2x} \tan x (2 + \tan x)}{x} + \frac{e^{2x} - 1}{x} \right] \\&= \underbrace{\lim_{x \to 0} e^{2x} \cdot \frac{\tan x}{x} \cdot (2 + \tan x)}_{\text{第一部分}} + \underbrace{\lim_{x \to 0} \frac{e^{2x} - 1}{x}}_{\text{第二部分}}.\end{aligned}$

步骤5：计算各部分极限

• 第一部分：当$x \to 0$时，$e^{2x} \to 1$，$\tan x \sim x$，故$\frac{\tan x}{x} \to 1$，$\tan x \to 0$，因此极限为$1 \cdot 1 \cdot 2 = 2$。
• 第二部分：利用极限公式$\lim_{x \to 0} \frac{e^{kx} - 1}{x} = k$，得$\lim_{x \to 0} \frac{e^{2x} - 1}{x} = 2$。

步骤6：合并结果
$f''(0) = 2 + 2 = 4.$