曲线 L 是 y = x^2 从 (0,0) 到 (1,1) 的一段有向线段,则 int_(L) y dx + (2x + 1)dy = ( )A. (1)/(3)B. 1C. (8)/(3)D. 2

本题考查对坐标的曲线积分的计算。解题思路是先将曲线$L$用参数方程表示，然后将曲线积分转化为定积分进行计算。

已知曲线$L$是$y = x^2$从$(0,0)$到$(1,1)$的一段有向线段，我们可以取$x$为参数，此时曲线$L$的参数方程为$\begin{cases}x = x\\y = x^2\end{cases}$，$x$的取值范围是从$0$到$1$。

对$y = x^2$求导，根据求导公式$(X^n)^\prime=nX^{n - 1}$可得$dy = 2x dx$。

将$y = x^2$和$dy = 2x dx$代入曲线积分$\int_{L} y dx + (2x + 1)dy$中，得到：

$\begin{align*}\int_{L} y dx + (2x + 1)dy&=\int_{0}^{1} x^2 dx + (2x + 1)\cdot 2x dx\\&=\int_{0}^{1} (x^2 + 4x^2 + 2x) dx\\&=\int_{0}^{1} (5x^2 + 2x) dx\end{align*}$

根据定积分的运算法则$\int_{a}^{b}(f(x)+g(x))dx=\int_{a}^{b}f(x)dx+\int_{a}^{b}g(x)dx$，可得：

$\begin{align*}\int_{0}^{1} (5x^2 + 2x) dx&=\int_{0}^{1} 5x^2 dx + \int_{0}^{1} 2x dx\\&=5\int_{0}^{1} x^2 dx + 2\int_{0}^{1} x dx\end{align*}$

再根据定积分公式$\int_{a}^{b}x^n dx=\frac{1}{n + 1}x^{n + 1}\big|_{a}^{b}$，分别计算两个定积分：

$5\int_{0}^{1} x^2 dx = 5\times\frac{1}{3}x^3\big|_{0}^{1}=5\times\frac{1}{3}\times(1^3 - 0^3)=\frac{5}{3}$

$2\int_{0}^{1} x dx = 2\times\frac{1}{2}x^2\big|_{0}^{1}=2\times\frac{1}{2}\times(1^2 - 0^2)=1$

将两个结果相加可得：

$\frac{5}{3}+1=\frac{5}{3}+\frac{3}{3}=\frac{8}{3}$