题目

填空题（共13题，30.0分）22.（2.3分）int 4xdx=

填空题（共13题，30.0分） 22.（2.3分）$\int 4xdx=$

题目解答

答案

要解决积分 $\int 4x \, dx$，我们可以按照以下步骤进行： 1. **识别积分形式**：给定的积分是 $\int 4x \, dx$。这是一个基本的积分形式，其中被积函数是 $x$ 的线性函数。 2. **使用积分的常数倍数法则**：积分的常数倍数法则表明 $\int c \cdot f(x) \, dx = c \cdot \int f(x) \, dx$，其中 $c$ 是一个常数。在这个例子中，$c = 4$ 且 $f(x) = x$。因此，我们可以将常数4从积分中提取出来： \[ \int 4x \, dx = 4 \int x \, dx \] 3. **积分 $x$**：$x$ 的积分是 $\frac{x^2}{2}$。这是从积分幂规则中得出的，该规则表明 $\int x^n \, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$，对于 $n \neq -1$。这里，$n = 1$，所以： \[ \int x \, dx = \frac{x^2}{2} + C \] 4. **将常数4乘以积分结果**：现在，我们将常数4乘以 $\frac{x^2}{2} + C$： \[ 4 \int x \, dx = 4 \left( \frac{x^2}{2} + C \right) = 4 \cdot \frac{x^2}{2} + 4 \cdot C = 2x^2 + 4C \] 5. **简化常数项**：由于 $4C$ 只是一个常数，我们可以将其表示为一个单一的常数 $C$： \[ 2x^2 + 4C = 2x^2 + C \] 因此，积分 $\int 4x \, dx$ 的解是 $\boxed{2x^2 + C}$。

解析

考查要点：本题主要考查不定积分的基本计算方法，特别是对幂函数积分法则的掌握。

解题核心思路：

  1. 分离常数：利用积分的线性性质，将常数系数提到积分号外。
  2. 应用幂函数积分公式：对单项式 $x^n$ 进行积分，结果为 $\frac{x^{n+1}}{n+1}$。
  3. 合并常数项：积分结果中的常数项可合并为单一常数 $C$。

破题关键点：

  • 识别被积函数形式：确认被积函数为单项式 $4x$，其中 $x$ 的指数为 $1$。
  • 正确应用积分公式：注意指数加 $1$ 后分母的变化，避免计算错误。

步骤 1：提取常数
根据积分的线性性质，常数 $4$ 可以提到积分号外：
$\int 4x \, dx = 4 \int x \, dx$

步骤 2：应用幂函数积分公式
对 $\int x \, dx$ 使用幂函数积分公式 $\int x^n \, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$（此处 $n=1$）：
$\int x \, dx = \frac{x^{1+1}}{1+1} + C = \frac{x^2}{2} + C$

步骤 3：代入并简化
将结果代入原式并乘以常数 $4$：
$4 \int x \, dx = 4 \left( \frac{x^2}{2} + C \right) = 4 \cdot \frac{x^2}{2} + 4C = 2x^2 + C$

关键点：

  • 常数合并：$4C$ 仍为任意常数，简记为 $C$。