题目
计算:求imim
计算:求
题目解答
答案
原式
解析
步骤 1：应用洛必达法则
题目要求计算的是一个极限问题，分子和分母在$x\rightarrow 0$时都趋近于0，因此可以应用洛必达法则。洛必达法则用于求解形如$\frac{0}{0}$或$\frac{\infty}{\infty}$的极限问题，通过求导数来简化问题。
步骤 2：求导数
分子是${({\int }_{0}^{x}{e}^{{t}^{2}}dt)}^{2}$，对$x$求导得到$2{\int }_{0}^{x}{e}^{{t}^{2}}dt\cdot {e}^{{x}^{2}}$。分母是${\int }_{0}^{2}t{e}^{2{t}^{2}dt}$，对$x$求导得到$x\cdot {e}^{2{x}^{2}}$。因此，原式变为$\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {2{\int }_{0}^{x}{e}^{{t}^{2}}dt\cdot {e}^{{x}^{2}}}{x\cdot {e}^{2{x}^{2}}}$。
步骤 3：再次应用洛必达法则
由于分子和分母在$x\rightarrow 0$时仍然都趋近于0，再次应用洛必达法则。分子求导得到$2{e}^{{x}^{2}}$，分母求导得到${e}^{{x}^{2}}+2{x}^{2}{e}^{{x}^{2}}$。因此，原式变为$\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {2{e}^{{x}^{2}}}{{e}^{{x}^{2}}+2{x}^{2}{e}^{{x}^{2}}}$。
步骤 4：计算极限
将$x\rightarrow 0$代入上式，得到$\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {2}{1+2{x}^{2}}=2$。
题目要求计算的是一个极限问题，分子和分母在$x\rightarrow 0$时都趋近于0，因此可以应用洛必达法则。洛必达法则用于求解形如$\frac{0}{0}$或$\frac{\infty}{\infty}$的极限问题，通过求导数来简化问题。
步骤 2：求导数
分子是${({\int }_{0}^{x}{e}^{{t}^{2}}dt)}^{2}$，对$x$求导得到$2{\int }_{0}^{x}{e}^{{t}^{2}}dt\cdot {e}^{{x}^{2}}$。分母是${\int }_{0}^{2}t{e}^{2{t}^{2}dt}$，对$x$求导得到$x\cdot {e}^{2{x}^{2}}$。因此，原式变为$\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {2{\int }_{0}^{x}{e}^{{t}^{2}}dt\cdot {e}^{{x}^{2}}}{x\cdot {e}^{2{x}^{2}}}$。
步骤 3：再次应用洛必达法则
由于分子和分母在$x\rightarrow 0$时仍然都趋近于0，再次应用洛必达法则。分子求导得到$2{e}^{{x}^{2}}$，分母求导得到${e}^{{x}^{2}}+2{x}^{2}{e}^{{x}^{2}}$。因此，原式变为$\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {2{e}^{{x}^{2}}}{{e}^{{x}^{2}}+2{x}^{2}{e}^{{x}^{2}}}$。
步骤 4：计算极限
将$x\rightarrow 0$代入上式，得到$\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {2}{1+2{x}^{2}}=2$。