题目
5.应用拉格朗日中值定理证明下列不等式-|||-(1) dfrac (b-a)(b)lt ln dfrac (b)(a)lt dfrac (b-a)(a), 其中 lt alt b ;-|||-(2) dfrac (h)(1+{h)^2}lt arctan hlt h, 其中 gt 0.
题目解答
答案
解析
步骤 1：应用拉格朗日中值定理证明不等式 $\dfrac {b-a}{b}\lt \ln \dfrac {b}{a}\lt \dfrac {b-a}{a}$
函数 $f(x)=\ln x$ 在区间 $[a,b]$ 上连续，在区间 $(a,b)$ 内可导。根据拉格朗日中值定理，存在 $\xi \in (a,b)$ 使得 $f'(ξ) = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}$。由于 $f'(x) = \frac{1}{x}$，则有 $\frac{1}{ξ} = \frac{\ln b - \ln a}{b - a}$。因为 $a < ξ < b$，所以 $\frac{1}{b} < \frac{1}{ξ} < \frac{1}{a}$，即 $\frac{1}{b} < \frac{\ln b - \ln a}{b - a} < \frac{1}{a}$。从而得到 $\dfrac {b-a}{b}\lt \ln \dfrac {b}{a}\lt \dfrac {b-a}{a}$。
步骤 2：应用拉格朗日中值定理证明不等式 $\dfrac {h}{1+{h}^{2}}\lt \arctan h\lt h$
函数 $f(x)=\arctan x$ 在区间 $[0,h]$ 上连续，在区间 $(0,h)$ 内可导。根据拉格朗日中值定理，存在 $g \in (0,h)$ 使得 $f'(g) = \frac{f(h) - f(0)}{h - 0}$。由于 $f'(x) = \frac{1}{1+x^2}$，则有 $\frac{1}{1+g^2} = \frac{\arctan h - \arctan 0}{h}$。因为 $0 < g < h$，所以 $\frac{1}{1+h^2} < \frac{1}{1+g^2} < 1$，即 $\frac{1}{1+h^2} < \frac{\arctan h}{h} < 1$。从而得到 $\dfrac {h}{1+{h}^{2}}\lt \arctan h\lt h$。
函数 $f(x)=\ln x$ 在区间 $[a,b]$ 上连续，在区间 $(a,b)$ 内可导。根据拉格朗日中值定理，存在 $\xi \in (a,b)$ 使得 $f'(ξ) = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}$。由于 $f'(x) = \frac{1}{x}$，则有 $\frac{1}{ξ} = \frac{\ln b - \ln a}{b - a}$。因为 $a < ξ < b$，所以 $\frac{1}{b} < \frac{1}{ξ} < \frac{1}{a}$，即 $\frac{1}{b} < \frac{\ln b - \ln a}{b - a} < \frac{1}{a}$。从而得到 $\dfrac {b-a}{b}\lt \ln \dfrac {b}{a}\lt \dfrac {b-a}{a}$。
步骤 2：应用拉格朗日中值定理证明不等式 $\dfrac {h}{1+{h}^{2}}\lt \arctan h\lt h$
函数 $f(x)=\arctan x$ 在区间 $[0,h]$ 上连续，在区间 $(0,h)$ 内可导。根据拉格朗日中值定理，存在 $g \in (0,h)$ 使得 $f'(g) = \frac{f(h) - f(0)}{h - 0}$。由于 $f'(x) = \frac{1}{1+x^2}$，则有 $\frac{1}{1+g^2} = \frac{\arctan h - \arctan 0}{h}$。因为 $0 < g < h$，所以 $\frac{1}{1+h^2} < \frac{1}{1+g^2} < 1$，即 $\frac{1}{1+h^2} < \frac{\arctan h}{h} < 1$。从而得到 $\dfrac {h}{1+{h}^{2}}\lt \arctan h\lt h$。