题目
求全微分方程'+y-x=0的通解.
求全微分方程
的通解.
题目解答
答案
[答案]
[解析]方程化简为
,为一阶线性微分方程,由通解公式得
.
解析
步骤 1：化简方程
原方程$xy'+y-x=0$可以化简为$y'+\dfrac{1}{x}y=1$，这是一个一阶线性微分方程。
步骤 2：求解一阶线性微分方程
一阶线性微分方程的通解公式为$y=e^{-\int P(x)dx}(\int Q(x)e^{\int P(x)dx}dx+C)$，其中$P(x)=\dfrac{1}{x}$，$Q(x)=1$。
步骤 3：代入求解
代入$P(x)$和$Q(x)$，得到$y=e^{-\int \dfrac{1}{x}dx}(\int 1\cdot e^{\int \dfrac{1}{x}dx}dx+C)$。
步骤 4：计算积分
计算积分得到$y=e^{-\ln|x|}(\int e^{\ln|x|}dx+C)=\dfrac{1}{x}(\int xdx+C)=\dfrac{1}{x}(\dfrac{x^2}{2}+C)$。
步骤 5：化简结果
化简得到$y=\dfrac{x}{2}+\dfrac{C}{x}$。
原方程$xy'+y-x=0$可以化简为$y'+\dfrac{1}{x}y=1$，这是一个一阶线性微分方程。
步骤 2：求解一阶线性微分方程
一阶线性微分方程的通解公式为$y=e^{-\int P(x)dx}(\int Q(x)e^{\int P(x)dx}dx+C)$，其中$P(x)=\dfrac{1}{x}$，$Q(x)=1$。
步骤 3：代入求解
代入$P(x)$和$Q(x)$，得到$y=e^{-\int \dfrac{1}{x}dx}(\int 1\cdot e^{\int \dfrac{1}{x}dx}dx+C)$。
步骤 4：计算积分
计算积分得到$y=e^{-\ln|x|}(\int e^{\ln|x|}dx+C)=\dfrac{1}{x}(\int xdx+C)=\dfrac{1}{x}(\dfrac{x^2}{2}+C)$。
步骤 5：化简结果
化简得到$y=\dfrac{x}{2}+\dfrac{C}{x}$。