题目
设 A 为 n 阶可逆矩阵，lambda 是 A 的特征值，则 A^* 的特征根之一是()。A. lambda^-1 |A|^nB. lambda^-1 |A|C. lambda |A|D. lambda |A|^n
设 $A$ 为 $n$ 阶可逆矩阵，$\lambda$ 是 $A$ 的特征值，则 $A^*$ 的特征根之一是()。
A. $\lambda^{-1} |A|^n$
B. $\lambda^{-1} |A|$
C. $\lambda |A|$
D. $\lambda |A|^n$
题目解答
答案
B. $\lambda^{-1} |A|$
解析
步骤 1：理解伴随矩阵的性质
伴随矩阵 $A^*$ 满足 $A^* = |A|A^{-1}$，其中 $|A|$ 表示矩阵 $A$ 的行列式值，$A^{-1}$ 表示矩阵 $A$ 的逆矩阵。
步骤 2：利用特征值的定义
设 $\lambda$ 是矩阵 $A$ 的特征值，即存在非零向量 $x$ 使得 $Ax = \lambda x$。
步骤 3：计算 $A^*$ 的特征值
根据伴随矩阵的性质，有 $A^*x = |A|A^{-1}x$。由于 $Ax = \lambda x$，则 $A^{-1}x = \frac{1}{\lambda}x$。因此，$A^*x = |A|A^{-1}x = |A| \cdot \frac{1}{\lambda}x = \frac{|A|}{\lambda}x$。这表明 $\frac{|A|}{\lambda}$ 是矩阵 $A^*$ 的特征值。
伴随矩阵 $A^*$ 满足 $A^* = |A|A^{-1}$，其中 $|A|$ 表示矩阵 $A$ 的行列式值，$A^{-1}$ 表示矩阵 $A$ 的逆矩阵。
步骤 2：利用特征值的定义
设 $\lambda$ 是矩阵 $A$ 的特征值，即存在非零向量 $x$ 使得 $Ax = \lambda x$。
步骤 3：计算 $A^*$ 的特征值
根据伴随矩阵的性质，有 $A^*x = |A|A^{-1}x$。由于 $Ax = \lambda x$，则 $A^{-1}x = \frac{1}{\lambda}x$。因此，$A^*x = |A|A^{-1}x = |A| \cdot \frac{1}{\lambda}x = \frac{|A|}{\lambda}x$。这表明 $\frac{|A|}{\lambda}$ 是矩阵 $A^*$ 的特征值。