2、单选 极限 lim_((x,y)to(0,0))(x^2+xy)/(x^2)+y^(2)= （）.A. 1B. 不存在C. 2D. 0

考查要点：本题主要考查二重极限的存在性判断，需要理解路径依赖性对极限的影响。

解题核心思路：
通过不同路径趋近于原点，验证极限值是否一致。若存在不同路径导致极限值不同，则原极限不存在。

破题关键点：

1. 直线路径法：沿直线$y = kx$代入，观察极限是否与$k$相关。
2. 极坐标法：将变量转换为极坐标形式，观察结果是否依赖角度$\theta$。
3. 结论推导：若两种方法均发现极限值随路径变化，则可判定极限不存在。

方法一：直线路径法

沿直线$y = kx$趋近于原点，代入原式：
$\lim_{x \to 0} \frac{x^2 + x(kx)}{x^2 + (kx)^2} = \lim_{x \to 0} \frac{x^2(1 + k)}{x^2(1 + k^2)} = \frac{1 + k}{1 + k^2}.$

• 当$k = 0$时，极限值为$\frac{1 + 0}{1 + 0} = 1$；
• 当$k = -1$时，极限值为$\frac{1 + (-1)}{1 + (-1)^2} = 0$。
  结论：沿不同直线路径，极限值不同。

方法二：极坐标法

设$x = r\cos\theta$，$y = r\sin\theta$，当$r \to 0$时：
$\lim_{r \to 0} \frac{r^2(\cos^2\theta + \cos\theta\sin\theta)}{r^2} = \cos^2\theta + \cos\theta\sin\theta.$

• 当$\theta = 0$时，结果为$1$；
• 当$\theta = \frac{\pi}{2}$时，结果为$0$。
  结论：极限值随角度$\theta$变化，路径依赖性明显。