题目
设3阶矩阵Q=(matrix(1 & 2 & 3 cr 2 & 4 & t cr 3 & 6 & 9))，P为3阶非零矩阵，且PQ=0，则( )A. t=6时，R(P)=1B. t=6时，R(P)=2C. t≠6时，R(P)=1D. t≠6时，R(P)=2
设3阶矩阵$Q=\left(\matrix{1 & 2 & 3 \cr 2 & 4 & t \cr 3 & 6 & 9}\right)$，P为3阶非零矩阵，且$PQ=0$，则( )
A. t=6时，R(P)=1
B. t=6时，R(P)=2
C. t≠6时，R(P)=1
D. t≠6时，R(P)=2
题目解答
答案
C. t≠6时，R(P)=1
解析
步骤 1：计算矩阵Q的秩
首先，我们需要计算矩阵Q的秩。矩阵Q的秩是矩阵中线性无关的行或列的最大数量。观察矩阵Q，我们可以看到第二行是第一行的两倍，第三行是第一行的三倍。因此，当t=6时，第三行也是第二行的1.5倍，这意味着矩阵Q的秩为1。当t≠6时，第三行不再是第二行的倍数，因此矩阵Q的秩为2。
步骤 2：分析矩阵P的秩
由于PQ=0，这意味着矩阵P的列向量都是矩阵Q的零空间的元素。矩阵Q的零空间的维度等于矩阵Q的列数减去矩阵Q的秩。当t=6时，矩阵Q的秩为1，因此矩阵Q的零空间的维度为2。这意味着矩阵P的秩最多为2。但是，由于P是非零矩阵，因此矩阵P的秩至少为1。因此，当t=6时，矩阵P的秩为1或2。当t≠6时，矩阵Q的秩为2，因此矩阵Q的零空间的维度为1。这意味着矩阵P的秩最多为1。但是，由于P是非零矩阵，因此矩阵P的秩至少为1。因此，当t≠6时，矩阵P的秩为1。
步骤 3：选择正确的选项
根据上述分析，当t=6时，矩阵P的秩可以是1或2，因此选项A和B都不正确。当t≠6时，矩阵P的秩为1，因此选项C正确，选项D不正确。
首先，我们需要计算矩阵Q的秩。矩阵Q的秩是矩阵中线性无关的行或列的最大数量。观察矩阵Q，我们可以看到第二行是第一行的两倍，第三行是第一行的三倍。因此，当t=6时，第三行也是第二行的1.5倍，这意味着矩阵Q的秩为1。当t≠6时，第三行不再是第二行的倍数，因此矩阵Q的秩为2。
步骤 2：分析矩阵P的秩
由于PQ=0，这意味着矩阵P的列向量都是矩阵Q的零空间的元素。矩阵Q的零空间的维度等于矩阵Q的列数减去矩阵Q的秩。当t=6时，矩阵Q的秩为1，因此矩阵Q的零空间的维度为2。这意味着矩阵P的秩最多为2。但是，由于P是非零矩阵，因此矩阵P的秩至少为1。因此，当t=6时，矩阵P的秩为1或2。当t≠6时，矩阵Q的秩为2，因此矩阵Q的零空间的维度为1。这意味着矩阵P的秩最多为1。但是，由于P是非零矩阵，因此矩阵P的秩至少为1。因此，当t≠6时，矩阵P的秩为1。
步骤 3：选择正确的选项
根据上述分析，当t=6时，矩阵P的秩可以是1或2，因此选项A和B都不正确。当t≠6时，矩阵P的秩为1，因此选项C正确，选项D不正确。