题目
求下列微分方程的通解（1）((y)^2-6x)dfrac (dy)(dx)+2y=0-|||-__
求下列微分方程的通解
（1）
题目解答
答案
由题意，已知
微分方程满足
∴将该微分方程改写为：
令
显然该方程属于一阶非齐次线性微分方程
由常数变异法，可知该类型微分方程通解为：
解析
步骤 1：将微分方程改写为标准形式
给定的微分方程是$({y}^{2}-6x)\dfrac {dy}{dx}+2y=0$，我们首先将其改写为标准形式。将方程改写为$\dfrac {dx}{dy}-\dfrac {3}{y}dx=-\dfrac {y}{2}$，这样我们就可以识别出这是一个一阶非齐次线性微分方程。
步骤 2：识别方程类型
根据步骤1中的改写，我们识别出这是一个一阶非齐次线性微分方程，其形式为$\dfrac {dx}{dy}+P(y)x=Q(y)$，其中$P(y)=-\dfrac {3}{y}$，$Q(y)=-\dfrac {y}{2}$。
步骤 3：求解通解
对于一阶非齐次线性微分方程，其通解可以通过常数变异法求得。通解形式为$x(y)=e^{-\int P(y)dy}[\int Q(y)e^{\int P(y)dy}dy+C]$。将$P(y)$和$Q(y)$代入，得到$x(y)=e^{-\int -\dfrac {3}{y}dy}[\int -\dfrac {y}{2}e^{\int -\dfrac {3}{y}dy}dy+C]$。计算积分，得到$x(y)=y^{3}[\int -\dfrac {y}{2}y^{-3}dy+C]$。进一步简化，得到$x(y)=\dfrac {1}{2}y^{2}+Cy^{3}$。
给定的微分方程是$({y}^{2}-6x)\dfrac {dy}{dx}+2y=0$，我们首先将其改写为标准形式。将方程改写为$\dfrac {dx}{dy}-\dfrac {3}{y}dx=-\dfrac {y}{2}$，这样我们就可以识别出这是一个一阶非齐次线性微分方程。
步骤 2：识别方程类型
根据步骤1中的改写，我们识别出这是一个一阶非齐次线性微分方程，其形式为$\dfrac {dx}{dy}+P(y)x=Q(y)$，其中$P(y)=-\dfrac {3}{y}$，$Q(y)=-\dfrac {y}{2}$。
步骤 3：求解通解
对于一阶非齐次线性微分方程，其通解可以通过常数变异法求得。通解形式为$x(y)=e^{-\int P(y)dy}[\int Q(y)e^{\int P(y)dy}dy+C]$。将$P(y)$和$Q(y)$代入，得到$x(y)=e^{-\int -\dfrac {3}{y}dy}[\int -\dfrac {y}{2}e^{\int -\dfrac {3}{y}dy}dy+C]$。计算积分，得到$x(y)=y^{3}[\int -\dfrac {y}{2}y^{-3}dy+C]$。进一步简化，得到$x(y)=\dfrac {1}{2}y^{2}+Cy^{3}$。