设函数 f(x)=} g(x)sin(1)/(x), & xneq0, 0, & x=0, 其中 g(x) 在 x=0 点可导. 若 f(x) 在 x=0 点可导, 则 f'(0)= ______.

本题考查函数在某点可导的定义以及极限的计算，解题的关键在于利用导数定义求出$f^\prime(0)$，并结合$\sin\frac{1}{x}$的有界性和极限存在的条件来确定结果。

1. 根据导数定义求$f^\prime(0)$：
   已知函数$f(x)$在$x = 0$处可导，根据导数的定义$f^\prime(0)=\lim\limits_{x \to 0} \frac{f(x) - f(0)}{x}$。
   因为$f(x) = \begin{cases} g(x) \sin \frac{1}{x}, & x \neq 0, \\ 0, & x = 0, \end{cases}$，所以$f(0)=0$，则$f^\prime(0)=\lim\limits_{x \to 0} \frac{g(x) \sin \frac{1}{x}-0}{x}=\lim\limits_{x \to 0} \frac{g(x) \sin \frac{1}{x}}{x}$。
2. 分析极限存在的条件：
   由于$\sin\frac{1}{x}$是有界函数，即$\vert\sin\frac{1}{x}\vert\leqslant1$，为使$\lim\limits_{x \to 0} \frac{g(x) \sin \frac{1}{x}}{x}$存在，因为$\sin\frac{1}{x}$在$x\to0$时在$[-1,1]$内振荡，所以必须有$\lim\limits_{x \to 0} \frac{g(x)}{x} = 0$。
3. 由$\lim\limits_{x \to 0} \frac{g(x)}{x} = 0$推出$g(0)$和$g^\prime(0)$的值：
   因为$g(x)$在$x = 0$点可导，则$g(x)$在$x = 0$点连续，即$\lim\limits_{x \to 0}g(x)=g(0)$。
   $\lim\limits_{x \to 0} \frac{g(x)}{x} = 0$，若$g(0)\neq0$，则$\lim\limits_{x \to 0} \frac{g(x)}{x}$为无穷大，与$\lim\limits_{x \to 0} \frac{g(x)}{x} = 0$矛盾，所以$g(0)=0$。
   又因为$g^\prime(0)=\lim\limits_{x \to 0} \frac{g(x)-g(0)}{x}=\lim\limits_{x \to 0} \frac{g(x)}{x}=0$。
4. 计算$f^\prime(0)$的值：
   将$f^\prime(0)=\lim\limits_{x \to 0} \frac{g(x) \sin \frac{1}{x}}{x}$变形为$f^\prime(0)=\lim\limits_{x \to 0} \frac{g(x)}{x} \cdot \sin \frac{1}{x}$，由前面分析可知$\lim\limits_{x \to 0} \frac{g(x)}{x} = 0$，$\sin\frac{1}{x}$是有界量，根据有界量与无穷小的乘积为无穷小，可得$f^\prime(0)=0\cdot(\text{有界量}) = 0$。