题目

设I_(n)=nint_(1)^a(dx)/(1+x^n),其中a>1,求极限lim_(ntoinfty)I_(n)

设$I_{n}=n\int_{1}^{a}\frac{dx}{1+x^{n}}$,其中a>1,求极限$\lim_{n\to\infty}I_{n}$

题目解答

答案

令 $ I_n = n \int_{1}^{a} \frac{dx}{1 + x^n} $，其中 $ a > 1 $。 当 $ n \to \infty $ 时，$ x^n $ 在 $ [1, a] $ 上趋于无穷（除 $ x = 1 $ 外），故被积函数 $ \frac{1}{1 + x^n} $ 在 $ x > 1 $ 时趋于 0，仅在 $ x = 1 $ 附近有显著贡献。 令 $ x = 1 + \frac{t}{n} $，则 $ dx = \frac{dt}{n} $，积分区间变为 $ [0, n(a-1)] $。 代入得： \[ I_n = \int_{0}^{n(a-1)} \frac{dt}{1 + \left(1 + \frac{t}{n}\right)^n}. \] 当 $ n \to \infty $ 时，$ \left(1 + \frac{t}{n}\right)^n \to e^t $，故： \[ \lim_{n \to \infty} I_n = \int_{0}^{\infty} \frac{dt}{1 + e^t}. \] 计算该积分： \[ \int_{0}^{\infty} \frac{dt}{1 + e^t} = \int_{1}^{\infty} \frac{du}{u(1 + u)} = \ln 2. \] 因此，极限为： \[ \boxed{\ln 2}. \]

解析

本题考查定积分极限的计算，解题思路是先分析被积函数在积分区间上的性质，然后通过变量代换将积分转化为一个新的积分形式，最后计算这个新积分的极限。

  1. 分析被积函数性质：
    当 $n \to \infty$ 时，对于 $x \in [1, a]$ 且 $x > 1$，$x^n \to \infty$，所以被积函数 $\frac{1}{1 + x^n} \to 0$。
    仅在 $x = 1$ 附近被积函数有显著贡献。

  2. 进行变量代换：
    令 $x = 1 + \frac{t}{n}$，则 $dx = \frac{dt}{n}$。
    当 $x = 1$ 时，$t = 0$；当 $x = a$ 时，$t = n(a - 1)$。
    原积分 $I_n = n \int_{1}^{a} \frac{dx}{1 + x^n}$ 变为 $I_n = \int_{0}^{n(a - 1)} \frac{dt}{1 + \left(1 + \frac{t}{n}\right)^n}$。

  3. 计算极限：
    当 $n \to \infty$ 时，$\left(1 + \frac{t}{n}\right)^n \to e^t$，所以 $\lim_{n \to \infty} I_n = \int_{0}^{\infty} \frac{dt}{1 + e^t}$。

  4. 计算积分 $\int_{0}^{\infty} \frac{dt}{1 + e^t}$：
    令 $u = e^t$，则 $t = \ln u$，$dt = \frac{du}{u}$。
    当 $t = 0$ 时，$u = 1$；当 $t \to \infty$ 时，$u \to \infty$。
    积分变为 $\int_{1}^{\infty} \frac{du}{u(1 + u)}$。
    对 $\frac{1}{u(1 + u)}$ 进行部分分式分解：$\frac{1}{u(1 + u)} = \frac{1}{u} - \frac{1}{1 + u}$。
    则 $\int_{1}^{\infty} \frac{du}{u(1 + u)} = \int_{1}^{\infty} \left(\frac{1}{u} - \frac{1}{1 + u}\right) du = \left[\ln u - \ln(1 + u)\right]_{1}^{\infty}$。
    $= \left[\ln \frac{u}{1 + u}\right]_{1}^{\infty} = \ln 2$。