例1.27 已知极限lim_(xto0)(tan2x+xf(x))/(sin x^3)=0，则lim_(xto0)(2+f(x))/(x^2)=（）. (A.）(13)/(9) (B.)4 (C.）(10)/(3) (D.）-(8)/(3)

考查要点：本题主要考查利用泰勒展开处理极限问题，以及通过已知极限条件确定函数表达式中的未知项，进而求解另一极限的能力。

解题核心思路：

1. 泰勒展开：将分子中的$\tan2x$和分母中的$\sin x^3$展开到足够阶数，简化原极限表达式。
2. 分析分子阶数：根据原极限结果为$0$，确定分子必须比分母更高阶，从而推导出$f(x)$的展开式。
3. 代入目标极限：利用$f(x)$的展开式，直接计算所求极限。

破题关键点：

• 分子必须比分母更高阶：原极限为$0$，说明分子中低阶项的系数必须为$0$，从而确定$f(x)$的展开系数。
• 忽略高阶无穷小：在计算目标极限时，只需保留与结果相关的主部项。

已知条件：
$\lim_{x \to 0} \frac{\tan 2x + x f(x)}{\sin x^3} = 0$

步骤1：泰勒展开近似

• $\tan 2x$展开到$x^3$项：
  $\tan 2x = 2x + \frac{(2x)^3}{3} + o(x^3) = 2x + \frac{8x^3}{3} + o(x^3)$
• $\sin x^3$展开到$x^3$项：
  $\sin x^3 = x^3 + o(x^3)$

步骤2：代入原极限表达式
将展开式代入原式：
$\lim_{x \to 0} \frac{2x + \frac{8x^3}{3} + x f(x)}{x^3} = 0$

步骤3：提取$x$并化简
分子提取$x$：
$\lim_{x \to 0} \frac{x \left( 2 + \frac{8x^2}{3} + f(x) \right)}{x^3} = \lim_{x \to 0} \frac{2 + \frac{8x^2}{3} + f(x)}{x^2} = 0$

步骤4：分析分子阶数
由于极限为$0$，分子$2 + \frac{8x^2}{3} + f(x)$必须比$x^2$更高阶，即：
$2 + f(x) = -\frac{8x^2}{3} + o(x^2)$

步骤5：代入目标极限
所求极限为：
$\lim_{x \to 0} \frac{2 + f(x)}{x^2} = \lim_{x \to 0} \frac{-\frac{8x^2}{3} + o(x^2)}{x^2} = -\frac{8}{3}$