题目
16.(填空题，3.0分)设矩阵A经初等行变换可化为行阶梯形矩阵B。若A的秩为4，则B中非零行的行数为_____.
16.(填空题，3.0分)设矩阵A经初等行变换可化为行阶梯形矩阵B。若A的秩为4，则B中非零行的行数为_____.
题目解答
答案
要解决这个问题，我们需要理解矩阵的秩与行阶梯形矩阵之间的关系。矩阵的秩定义为矩阵中线性无关的行向量的最大数量，或者等价地，矩阵中线性无关的列向量的最大数量。当一个矩阵经过初等行变换化为行阶梯形矩阵时，矩阵的秩保持不变。行阶梯形矩阵的秩等于其非零行的行数。 给定矩阵 $ A $ 的秩为4，且 $ A $ 经过初等行变换化为行阶梯形矩阵 $ B $，那么 $ B $ 的秩也等于4。由于行阶梯形矩阵的秩等于其非零行的行数，因此 $ B $ 中非零行的行数为4。 Thus, the answer is: $\boxed{4}$.
解析
本题考查矩阵的秩与行阶梯形矩阵的关系。解题思路如下：
- 明确矩阵秩的定义：矩阵的秩是矩阵中线性无关的行向量的最大数量，同时也等于矩阵中线性无关的列向量的最大数量。
- 了解初等行变换的性质：对矩阵进行初等行变换不会改变矩阵的秩。也就是说，若矩阵$A$经过初等行变换化为矩阵$B$，则$rank(A)=rank(B)$。
- 掌握行阶梯形矩阵秩的计算方法：行阶梯形矩阵的秩等于其非零行的行数。
- 结合题目条件进行计算：已知矩阵$A$的秩$rank(A) = 4$，因为$A$经初等行变换可化为行阶梯形矩阵$B$，根据初等行变换不改变矩阵秩的性质，可得$rank(B)=rank(A)=4$。又因为行阶梯形矩阵$B$的秩等于其非零行的行数，所以$B$中非零行的行数为$4$。