5-1 求h(t)的自相关函数。-|||-h(t)= ) (e)^-at(tgeqslant 0,agt 0) 0 (tlt 0) .

考查要点：本题主要考查连续时间信号的自相关函数计算，需要掌握自相关函数的定义及积分求解方法，同时注意信号非零区间的确定。

解题核心思路：

1. 明确自相关函数公式：$R(\tau) = \int_{-\infty}^{+\infty} h(t)h(t+\tau) \, dt$。
2. 确定信号非零区间：根据$h(t)$的定义，分析$h(t)$和$h(t+\tau)$同时非零的$t$范围。
3. 分情况讨论$\tau$的正负：通过积分区间的变化，分别计算$\tau > 0$和$\tau < 0$的情况，最终合并结果。

破题关键点：

• 积分区间分析：当$\tau > 0$时，$h(t+\tau)$的非零区间右移，需保证$t \geq 0$和$t+\tau \geq 0$同时成立。
• 指数函数积分技巧：对$e^{-kt}$形式的积分需熟练应用公式$\int_{a}^{+\infty} e^{-kt} \, dt = \frac{e^{-ka}}{k}$。

步骤1：写出自相关函数公式

根据定义：
$R(\tau) = \int_{-\infty}^{+\infty} h(t)h(t+\tau) \, dt$

步骤2：分析信号非零区间

• $h(t) \neq 0$当且仅当$t \geq 0$；
• $h(t+\tau) \neq 0$当且仅当$t \geq -\tau$。

因此，乘积$h(t)h(t+\tau) \neq 0$的条件为：
$t \geq \max(0, -\tau)$

步骤3：分情况讨论$\tau$的正负

情况1：$\tau > 0$

此时$\max(0, -\tau) = 0$，积分区间为$t \geq 0$：
$R(\tau) = \int_{0}^{+\infty} e^{-at} \cdot e^{-a(t+\tau)} \, dt = e^{-a\tau} \int_{0}^{+\infty} e^{-2at} \, dt$
计算积分：
$\int_{0}^{+\infty} e^{-2at} \, dt = \frac{1}{2a}$
因此：
$R(\tau) = \frac{e^{-a\tau}}{2a}$

情况2：$\tau < 0$

此时$\max(0, -\tau) = -\tau$，积分区间为$t \geq -\tau$：
$R(\tau) = \int_{-\tau}^{+\infty} e^{-at} \cdot e^{-a(t+\tau)} \, dt = e^{-a\tau} \int_{-\tau}^{+\infty} e^{-2at} \, dt$
变量代换$s = t + \tau$，积分变为：
$\int_{0}^{+\infty} e^{-2a(s-\tau)} \, ds = e^{2a\tau} \int_{0}^{+\infty} e^{-2as} \, ds = \frac{e^{2a\tau}}{2a}$
因此：
$R(\tau) = \frac{e^{-a\tau} \cdot e^{2a\tau}}{2a} = \frac{e^{a\tau}}{2a}$

步骤4：合并结果

由于$\tau < 0$时，$e^{a\tau} = e^{-a|\tau|}$，最终自相关函数可统一表示为：
$R(\tau) = \frac{e^{-a|\tau|}}{2a}$