4. 下列级数条件收敛的是（ ） A. sum _(n=1)^infty ((-1))^ndfrac (1)({n)^2+3}B. sum _(n=1)^infty ((-1))^ndfrac (1)({n)^2+3}C. sum _(n=1)^infty ((-1))^ndfrac (1)({n)^2+3}D. sum _(n=1)^infty ((-1))^ndfrac (1)({n)^2+3}

考查要点：本题主要考查交错级数的收敛性判断，特别是条件收敛与绝对收敛的区别。需要掌握莱布尼茨判别法和正项级数的收敛性判别法。

解题核心思路：

1. 判断原级数是否收敛：对于交错级数$\sum (-1)^n a_n$，若$a_n$单调递减且$\lim_{n \to \infty} a_n = 0$，则级数收敛（莱布尼茨定理）。
2. 判断绝对收敛性：若$\sum |a_n|$发散，则原级数条件收敛；若$\sum |a_n|$收敛，则原级数绝对收敛。

破题关键点：

• 选项C的通项$\dfrac{1}{\sqrt{n}+1}$满足莱布尼茨条件，但绝对级数$\sum \dfrac{1}{\sqrt{n}+1}$与发散的$\sum \dfrac{1}{\sqrt{n}}$比较，故条件收敛。

选项分析

A选项

• 原级数收敛性：$\dfrac{1}{n^2+3}$单调递减且$\lim_{n \to \infty} \dfrac{1}{n^2+3} = 0$，满足莱布尼茨定理，故收敛。
• 绝对收敛性：$\sum \dfrac{1}{n^2+3}$与收敛的$\sum \dfrac{1}{n^2}$比较（p级数，$p=2>1$），故绝对收敛。
• 结论：绝对收敛，排除。

B选项

• 原级数收敛性：$\lim_{n \to \infty} \dfrac{n}{n+1} = 1 \neq 0$，通项不趋于零，级数发散。
• 结论：直接排除。

C选项

• 原级数收敛性：$\dfrac{1}{\sqrt{n}+1}$单调递减且$\lim_{n \to \infty} \dfrac{1}{\sqrt{n}+1} = 0$，满足莱布尼茨定理，故收敛。
• 绝对收敛性：$\sum \dfrac{1}{\sqrt{n}+1}$与发散的$\sum \dfrac{1}{\sqrt{n}}$（p级数，$p=1/2<1$）比较，故发散。
• 结论：条件收敛，正确。

D选项

• 原级数收敛性：通项为$(-1)^n \cdot \left(\dfrac{4}{3}\right)^n$，绝对值$\left(\dfrac{4}{3}\right)^n$趋于无穷大，极限不存在，级数发散。
• 结论：直接排除。