题目
判断若级数∞-|||-an-|||-=1 收敛，则级数∞-|||-an-|||-=1收敛( )A：√B: ×
判断若级数
收敛，则级数
收敛( )
A：√
B: ×
题目解答
答案
级数 收敛，设：
，则级数
收敛。而级数
发散。所以该命题错误，答案选B。
解析
步骤 1：理解级数收敛的定义
级数$\sum _{n=1}^{\infty }{a}_{n}$收敛意味着其部分和序列$\{S_{n}\}$收敛到一个有限值，其中$S_{n}=\sum _{k=1}^{n}{a}_{k}$。
步骤 2：分析给定级数
给定级数$\sum _{n=1}^{\infty }\dfrac {x}{2}{(-1)}^{n}{a}_{n}$，其中$x$是常数，${a}_{n}$是级数的项。如果级数$\sum _{n=1}^{\infty }{a}_{n}$收敛，那么$\sum _{n=1}^{\infty }{(-1)}^{n}{a}_{n}$是否收敛取决于${a}_{n}$的性质。
步骤 3：构造反例
设${a}_{n}={(-1)}^{n}\dfrac {1}{n}$，则级数$\sum _{n=1}^{\infty }{a}_{n}=\sum _{n=1}^{\infty }{(-1)}^{n}\dfrac {1}{n}$收敛（这是交错级数，满足莱布尼茨判别法）。然而，考虑级数$\sum _{n=1}^{\infty }{(-1)}^{n}{a}_{n}=\sum _{n=1}^{\infty }\dfrac {1}{n}$，这是一个调和级数，它是发散的。
级数$\sum _{n=1}^{\infty }{a}_{n}$收敛意味着其部分和序列$\{S_{n}\}$收敛到一个有限值，其中$S_{n}=\sum _{k=1}^{n}{a}_{k}$。
步骤 2：分析给定级数
给定级数$\sum _{n=1}^{\infty }\dfrac {x}{2}{(-1)}^{n}{a}_{n}$，其中$x$是常数，${a}_{n}$是级数的项。如果级数$\sum _{n=1}^{\infty }{a}_{n}$收敛，那么$\sum _{n=1}^{\infty }{(-1)}^{n}{a}_{n}$是否收敛取决于${a}_{n}$的性质。
步骤 3：构造反例
设${a}_{n}={(-1)}^{n}\dfrac {1}{n}$，则级数$\sum _{n=1}^{\infty }{a}_{n}=\sum _{n=1}^{\infty }{(-1)}^{n}\dfrac {1}{n}$收敛（这是交错级数，满足莱布尼茨判别法）。然而，考虑级数$\sum _{n=1}^{\infty }{(-1)}^{n}{a}_{n}=\sum _{n=1}^{\infty }\dfrac {1}{n}$，这是一个调和级数，它是发散的。