题目
求平面 3x + 2y + z = 1 被椭圆柱面 2x^2 + y^2 = 1 截下那部分的曲面的面积。A. sqrt(7)piB. sqrt(2)piC. piD. 2pi
求平面 $3x + 2y + z = 1$ 被椭圆柱面 $2x^2 + y^2 = 1$ 截下那部分的曲面的面积。
A. $\sqrt{7}\pi$
B. $\sqrt{2}\pi$
C. $\pi$
D. $2\pi$
题目解答
答案
A. $\sqrt{7}\pi$
解析
步骤 1：表示平面方程
将平面方程 $3x + 2y + z = 1$ 表示为 $z = 1 - 3x - 2y$。
步骤 2：计算偏导数
计算偏导数 $z_x = -3$，$z_y = -2$。
步骤 3：曲面面积公式
曲面面积公式为：\[ A = \iint_D \sqrt{1 + z_x^2 + z_y^2} \, dA = \iint_D \sqrt{14} \, dA. \]
步骤 4：积分区域
积分区域 $D$ 是椭圆 $2x^2 + y^2 \leq 1$。
步骤 5：变量变换
使用变量变换 $x = \frac{u}{\sqrt{2}}$，$y = v$，雅可比行列式为 $\frac{1}{\sqrt{2}}$，将椭圆变为单位圆。
步骤 6：积分计算
积分变为：\[ A = \iint_{u^2 + v^2 \leq 1} \sqrt{7} \, du \, dv = \sqrt{7} \pi. \]
将平面方程 $3x + 2y + z = 1$ 表示为 $z = 1 - 3x - 2y$。
步骤 2：计算偏导数
计算偏导数 $z_x = -3$，$z_y = -2$。
步骤 3：曲面面积公式
曲面面积公式为：\[ A = \iint_D \sqrt{1 + z_x^2 + z_y^2} \, dA = \iint_D \sqrt{14} \, dA. \]
步骤 4：积分区域
积分区域 $D$ 是椭圆 $2x^2 + y^2 \leq 1$。
步骤 5：变量变换
使用变量变换 $x = \frac{u}{\sqrt{2}}$，$y = v$，雅可比行列式为 $\frac{1}{\sqrt{2}}$，将椭圆变为单位圆。
步骤 6：积分计算
积分变为：\[ A = \iint_{u^2 + v^2 \leq 1} \sqrt{7} \, du \, dv = \sqrt{7} \pi. \]