题目
已知椭圆C：(({x^2)})/(({a^2))}+(({y^2)})/(({b^2))}=1（a＞b＞0），C的上顶点为A，两个焦点为F1，F2，离心率为(1)/(2)．过F1且垂直于AF2的直线与C交于D，E两点，|DE|=6，则△ADE的周长是 ____ ．
已知椭圆C：$\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}}$+$\frac{{{y^2}}}{{{b^2}}}$=1（a＞b＞0），C的上顶点为A，两个焦点为F1，F2，离心率为$\frac{1}{2}$．过F1且垂直于AF2的直线与C交于D，E两点，|DE|=6，则△ADE的周长是 ____ ．
题目解答
答案
解：∵椭圆C：$\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}}$+$\frac{{{y^2}}}{{{b^2}}}$=1（a＞b＞0）的离心率为$\frac{1}{2}$，
∴不妨可设椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{4{c}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{3{c}^{2}}=1$，a=2c，
∵C的上顶点为A，两个焦点为F1，F2，
∴△AF1F2为等边三角形，
∵过F1且垂直于AF2的直线与C交于D，E两点，
∴${k}_{DE}=tan30°=\frac{\sqrt{3}}{3}$，
由等腰三角形的性质可得，|AD|=|DF2|，|AE|=|EF2|，
设直线DE方程为y=$\frac{\sqrt{3}}{3}（x+c）$，D（x1，y1），E（x2，y2），
将其与椭圆C联立化简可得，13x2+8cx-32c2=0，
由韦达定理可得，${x}_{1}+{x}_{2}=-\frac{8c}{13}$，${x}_{1}{x}_{2}=-\frac{32{c}^{2}}{13}$，
|DE|=$\sqrt{{k}^{2}+1}|{x}_{1}-{x}_{2}|$=$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\sqrt{\frac{1}{3}+1}•\sqrt{（-\frac{8c}{13}）^{2}+\frac{128{c}^{2}}{13}}$=$\frac{48}{13}c=6$，解得c=$\frac{13}{8}$，
由椭圆的定义可得，△ADE的周长等价于|DE|+|DF2|+|EF2|=4a=8c=$8×\frac{13}{8}=13$．
故答案为：13．
∴不妨可设椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{4{c}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{3{c}^{2}}=1$，a=2c，
∵C的上顶点为A，两个焦点为F1，F2，
∴△AF1F2为等边三角形，
∵过F1且垂直于AF2的直线与C交于D，E两点，
∴${k}_{DE}=tan30°=\frac{\sqrt{3}}{3}$，
由等腰三角形的性质可得，|AD|=|DF2|，|AE|=|EF2|，
设直线DE方程为y=$\frac{\sqrt{3}}{3}（x+c）$，D（x1，y1），E（x2，y2），
将其与椭圆C联立化简可得，13x2+8cx-32c2=0，
由韦达定理可得，${x}_{1}+{x}_{2}=-\frac{8c}{13}$，${x}_{1}{x}_{2}=-\frac{32{c}^{2}}{13}$，
|DE|=$\sqrt{{k}^{2}+1}|{x}_{1}-{x}_{2}|$=$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\sqrt{\frac{1}{3}+1}•\sqrt{（-\frac{8c}{13}）^{2}+\frac{128{c}^{2}}{13}}$=$\frac{48}{13}c=6$，解得c=$\frac{13}{8}$，
由椭圆的定义可得，△ADE的周长等价于|DE|+|DF2|+|EF2|=4a=8c=$8×\frac{13}{8}=13$．
故答案为：13．
解析
考查要点：本题综合考查椭圆的几何性质、直线与椭圆的位置关系、弦长公式以及三角形周长的计算。关键在于利用椭圆的离心率确定参数关系，结合几何对称性简化计算。
解题思路：
- 椭圆参数关系：由离心率 $e = \frac{1}{2}$，设 $a = 2c$，进而确定 $b = \sqrt{3}c$，简化椭圆方程。
- 几何对称性：分析 $\triangle AF_1F_2$ 为等边三角形，利用垂直关系确定直线 $DE$ 的斜率。
- 弦长公式：联立直线与椭圆方程，通过韦达定理求根与根的关系，结合弦长公式 $|DE| = \sqrt{(k^2 + 1)[(x_1 + x_2)^2 - 4x_1x_2]}$ 解出 $c$。
- 周长转化：利用椭圆定义及对称性，将 $\triangle ADE$ 的周长转化为 $4a$，代入 $c$ 的值求解。
参数设定与几何关系
- 椭圆参数：由离心率 $e = \frac{c}{a} = \frac{1}{2}$，设 $a = 2c$，则 $b = \sqrt{a^2 - c^2} = \sqrt{3}c$，椭圆方程为 $\frac{x^2}{4c^2} + \frac{y^2}{3c^2} = 1$。
- 焦点与顶点坐标：$F_1(-c, 0)$，$F_2(c, 0)$，上顶点 $A(0, \sqrt{3}c)$。
- 等边三角形：$\triangle AF_1F_2$ 中，$AF_2 = F_1F_2 = 2c$，故为等边三角形，$\angle AF_1F_2 = 60^\circ$。
直线方程与联立
- 直线斜率：$AF_2$ 的斜率为 $-\sqrt{3}$，故垂直于 $AF_2$ 的直线斜率为 $\frac{1}{\sqrt{3}}$。
- 直线方程：过 $F_1(-c, 0)$，方程为 $y = \frac{1}{\sqrt{3}}(x + c)$。
- 联立椭圆方程：代入椭圆方程得 $13x^2 + 8cx - 32c^2 = 0$，利用韦达定理得 $x_1 + x_2 = -\frac{8c}{13}$，$x_1x_2 = -\frac{32c^2}{13}$。
弦长计算与参数求解
- 弦长公式：$|DE| = \sqrt{\frac{4}{3} \left[ \left(-\frac{8c}{13}\right)^2 - 4 \cdot \left(-\frac{32c^2}{13}\right) \right]} = \frac{48c}{13}$。
- 解方程：由 $|DE| = 6$ 得 $c = \frac{13}{8}$。
周长转化
- 椭圆定义：$\triangle ADE$ 的周长等价于 $|DE| + |DF_2| + |EF_2|$，利用对称性 $|AD| = |DF_2|$，$|AE| = |EF_2|$，结合椭圆定义得周长为 $4a = 8c = 13$。