若函数 f(x) 的一个原函数为 x sin x，则 int f''(x) , dx = ( )A. x sin x + CB. 2 cos x - x sin x + CC. sin x - x cos x + CD. sin x + x cos x + C

考查要点：本题主要考查原函数与导数的关系、二阶导数的计算以及不定积分的求解方法，特别是分部积分法的应用。

解题核心思路：

1. 原函数与导数的关系：已知原函数求原函数的导数，即$f(x)$。
2. 二阶导数的计算：对$f(x)$求导得到$f'(x)$，再对$f'(x)$求导得到$f''(x)$。
3. 不定积分的求解：对$f''(x)$进行积分，注意分部积分法的灵活运用。

破题关键点：

• 正确求导：分步计算$f(x)$的一阶和二阶导数，避免符号错误。
• 分部积分法：处理$\int -x \cos x \, dx$时，合理选择分部积分的变量。

步骤1：求$f(x)$

已知$f(x)$的一个原函数为$x \sin x$，即：
$\int f(x) \, dx = x \sin x + C$
对两边求导得：
$f(x) = \frac{d}{dx}(x \sin x) = \sin x + x \cos x$

步骤2：求$f''(x)$

1. 求一阶导数$f'(x)$：
   $f'(x) = \frac{d}{dx}(\sin x + x \cos x) = \cos x + (\cos x - x \sin x) = 2 \cos x - x \sin x$
2. 求二阶导数$f''(x)$：
   $f''(x) = \frac{d}{dx}(2 \cos x - x \sin x) = -2 \sin x - (\sin x + x \cos x) = -3 \sin x - x \cos x$

步骤3：求$\int f''(x) \, dx$

将$f''(x) = -3 \sin x - x \cos x$代入积分：
$\int (-3 \sin x - x \cos x) \, dx = \int -3 \sin x \, dx + \int -x \cos x \, dx$

1. 计算$\int -3 \sin x \, dx$：
   $\int -3 \sin x \, dx = 3 \cos x$
2. 计算$\int -x \cos x \, dx$（分部积分法）：
   设$u = -x$，$dv = \cos x \, dx$，则$du = -dx$，$v = \sin x$：
   $\begin{aligned}\int -x \cos x \, dx &= -x \sin x - \int \sin x \cdot (-dx) \\&= -x \sin x + \int \sin x \, dx \\&= -x \sin x - \cos x\end{aligned}$
3. 合并结果：
   $\int f''(x) \, dx = 3 \cos x - x \sin x - \cos x + C = 2 \cos x - x \sin x + C$