题目
已知非齐次线性方程组 ) (x)_(1)+(x)_(2)+(x)_(3)+(x)_(4)=-1 4(x)_(1)+3(x)_(2)+5(x)_(3)-(x)_(4)=-1 a(x)_(1)+(x)_(2)+3(x)_(3) . 有三个线性无关的解。 (Ⅰ)证明方程组系数矩阵A的秩r(A) =2； (Ⅱ)求a，b的值及方程组的通解．
已知非齐次线性方程组
有三个线性无关的解。 (Ⅰ)证明方程组系数矩阵A的秩r(A) =2； (Ⅱ)求a，b的值及方程组的通解．
题目解答
答案
(Ⅰ)设α1，α2，α3是非齐次方程组的3个线性无关的解，那么α1-α2，α1-α3，是Ax=0线性无关的解，所以n-r(A)≥2，即r(A)≤2． 显然矩阵A中有2阶子式不为0，又有r(A)≥2，从而秩r(A)=2． (Ⅱ)对增广矩阵作初等行变换，有
由题设和(Ⅰ)知，
，故有 4-2a=0，b+4a-5=0 解出a=2，b=-3 此时
那么α=(2，-3，0，0)T是Ax=b的解，且η1=(-2，1，1，0)T，η2=(4，-5，0，1)是Ax=0的基础解系，所以方程组的通解是 α+k1η1+k2η2(k1，k2为任意常数)．
解析
步骤 1：证明方程组系数矩阵A的秩r(A) =2
设α1，α2，α3是非齐次方程组的3个线性无关的解，那么α1-α2，α1-α3，是Ax=0线性无关的解，所以n-r(A)≥2，即r(A)≤2．
显然矩阵A中有2阶子式不为0，又有r(A)≥2，从而秩r(A)=2．
步骤 2：求a，b的值
对增广矩阵作初等行变换，有
$1$ 1 1 1 :$-{1}^{-}$
$[ 1$ 1 1 1 $-17$
$\overline {A}=$ $43$ 5 -1 -1 → 0 -1 1 -5 3
$[ a\quad ] $ 3 b 1
$10$ 1-a 3-a b-a a+1 -1
$\rightarrow $
$\left [ \begin{matrix} 1& 1& 1& 1\\ 0& 1& -1& 5\\ 0& 0& 4-2a& b+4a-5\end{matrix} \right.$
-3 4-2a
由题设和(Ⅰ)知，$r(A)=r(\overline {A})=2$，故有
4-2a=0，b+4a-5=0
解出a=2，b=-3
步骤 3：求方程组的通解
此时1 0 2 -4 2 7
$\underline {\overline {A}}$
$01$ . -1 5 -3
$10$ D 0 0 0
那么α=(2，-3，0，0)T是Ax=b的解，且η1=(-2，1，1，0)T，η2=(4，-5，0，1)是Ax=0的基础解系，所以方程组的通解是
α+k1η1+k2η2(k1，k2为任意常数)．
设α1，α2，α3是非齐次方程组的3个线性无关的解，那么α1-α2，α1-α3，是Ax=0线性无关的解，所以n-r(A)≥2，即r(A)≤2．
显然矩阵A中有2阶子式不为0，又有r(A)≥2，从而秩r(A)=2．
步骤 2：求a，b的值
对增广矩阵作初等行变换，有
$1$ 1 1 1 :$-{1}^{-}$
$[ 1$ 1 1 1 $-17$
$\overline {A}=$ $43$ 5 -1 -1 → 0 -1 1 -5 3
$[ a\quad ] $ 3 b 1
$10$ 1-a 3-a b-a a+1 -1
$\rightarrow $
$\left [ \begin{matrix} 1& 1& 1& 1\\ 0& 1& -1& 5\\ 0& 0& 4-2a& b+4a-5\end{matrix} \right.$
-3 4-2a
由题设和(Ⅰ)知，$r(A)=r(\overline {A})=2$，故有
4-2a=0，b+4a-5=0
解出a=2，b=-3
步骤 3：求方程组的通解
此时1 0 2 -4 2 7
$\underline {\overline {A}}$
$01$ . -1 5 -3
$10$ D 0 0 0
那么α=(2，-3，0，0)T是Ax=b的解，且η1=(-2，1，1，0)T，η2=(4，-5，0，1)是Ax=0的基础解系，所以方程组的通解是
α+k1η1+k2η2(k1，k2为任意常数)．