题目

设一仓库中有十箱同样规格的产品，已知其中有五箱、三箱、两箱依次为甲、乙、丙厂生产的.且甲、乙、丙厂生产的该种产品的次品率依次为1/10、1/15、1/20.从这十箱中任取一箱，再从取得的这箱中任取一件产品，若已知取得正品，该正品是甲厂生产的概率是

设一仓库中有十箱同样规格的产品，已知其中有 五箱、三箱、两箱依次为甲、乙、丙厂生产的. 且甲、乙、丙厂生产的该种产品的次品率依次 为1/10、1/15、1/20.从这十箱中任取一箱，再 从取得的这箱中任取一件产品，若已知取得正品， 该正品是甲厂生产的概率是

题目解答

答案

为了解决这个问题，我们需要使用贝叶斯定理。让我们定义事件如下： - $ A_1 $：取得的箱子是甲厂生产的。 - $ A_2 $：取得的箱子是乙厂生产的。 - $ A_3 $：取得的箱子是丙厂生产的。 - $ B $：取得的产品是正品。 已知： - 有5箱是甲厂生产的，3箱是乙厂生产的，2箱是丙厂生产的。因此，取得甲厂生产的箱子的概率是 $ P(A_1) = \frac{5}{10} = \frac{1}{2} $，取得乙厂生产的箱子的概率是 $ P(A_2) = \frac{3}{10} $，取得丙厂生产的箱子的概率是 $ P(A_3) = \frac{2}{10} = \frac{1}{5} $。 - 甲厂的次品率是 $ \frac{1}{10} $，所以甲厂的正品率是 $ 1 - \frac{1}{10} = \frac{9}{10} $。因此， $ P(B|A_1) = \frac{9}{10} $。 - 乙厂的次品率是 $ \frac{1}{15} $，所以乙厂的正品率是 $ 1 - \frac{1}{15} = \frac{14}{15} $。因此， $ P(B|A_2) = \frac{14}{15} $。 - 丙厂的次品率是 $ \frac{1}{20} $，所以丙厂的正品率是 $ 1 - \frac{1}{20} = \frac{19}{20} $。因此， $ P(B|A_3) = \frac{19}{20} $。 我们需要找到在已知取得的产品是正品的情况下，该正品是甲厂生产的概率，即 $ P(A_1|B) $。根据贝叶斯定理，我们有： \[ P(A_1|B) = \frac{P(B|A_1)P(A_1)}{P(B)} \] 首先，我们需要找到 $ P(B) $，即取得正品的总概率。这可以使用全概率定律计算： \[ P(B) = P(B|A_1)P(A_1) + P(B|A_2)P(A_2) + P(B|A_3)P(A_3) \] 代入已知值： \[ P(B) = \left(\frac{9}{10}\right)\left(\frac{1}{2}\right) + \left(\frac{14}{15}\right)\left(\frac{3}{10}\right) + \left(\frac{19}{20}\right)\left(\frac{1}{5}\right) \] 计算每一项： \[ \left(\frac{9}{10}\right)\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{9}{20} \] \[ \left(\frac{14}{15}\right)\left(\frac{3}{10}\right) = \frac{14 \cdot 3}{15 \cdot 10} = \frac{42}{150} = \frac{7}{25} \] \[ \left(\frac{19}{20}\right)\left(\frac{1}{5}\right) = \frac{19}{100} \] 现在，将这些概率相加： \[ P(B) = \frac{9}{20} + \frac{7}{25} + \frac{19}{100} \] 为了将这些分数相加，我们需要一个公共分母。20、25和100的最小公倍数是100。将每个分数转换为： \[ \frac{9}{20} = \frac{9 \cdot 5}{20 \cdot 5} = \frac{45}{100} \] \[ \frac{7}{25} = \frac{7 \cdot 4}{25 \cdot 4} = \frac{28}{100} \] \[ \frac{19}{100} = \frac{19}{100} \] 现在，将它们相加： \[ P(B) = \frac{45}{100} + \frac{28}{100} + \frac{19}{100} = \frac{92}{100} = \frac{23}{25} \] 现在，我们可以找到 $ P(A_1|B) $： \[ P(A_1|B) = \frac{P(B|A_1)P(A_1)}{P(B)} = \frac{\left(\frac{9}{10}\right)\left(\frac{1}{2}\right)}{\frac{23}{25}} = \frac{\frac{9}{20}}{\frac{23}{25}} = \frac{9}{20} \cdot \frac{25}{23} = \frac{9 \cdot 25}{20 \cdot 23} = \frac{225}{460} = \frac{45}{92} \] 因此，在已知取得的产品是正品的情况下，该正品是甲厂生产的概率是 $\boxed{\frac{45}{92}}$。

解析

考查要点：本题主要考查条件概率和贝叶斯定理的应用，需要结合全概率公式进行计算。

解题核心思路：

  1. 明确事件定义：将问题中的事件（选到不同工厂的箱子、取得正品）用数学符号表示。
  2. 计算各事件概率：根据箱子数量和正品率，分别求出选到各厂箱子的概率及各厂的正品率。
  3. 应用全概率公式：计算取得正品的总概率。
  4. 应用贝叶斯定理：通过条件概率公式反推已知正品时来自甲厂的概率。

破题关键点：

  • 正确区分先验概率与后验概率：选到箱子的概率是先验概率，而取得正品时来自甲厂的概率是后验概率。
  • 准确计算各分项概率：注意次品率与正品率的转换，以及分数运算的准确性。

步骤1：定义事件与已知条件

  • 设 $A_1$、$A_2$、$A_3$ 分别表示选到甲、乙、丙厂的箱子。
  • 设 $B$ 表示取得正品。
  • 已知：
    • 箱子数量：甲厂5箱，乙厂3箱，丙厂2箱，总箱数10箱。
    • 次品率：甲厂 $\frac{1}{10}$，乙厂 $\frac{1}{15}$，丙厂 $\frac{1}{20}$。

步骤2：计算先验概率与条件概率

  • 选到各厂箱子的概率：
    $P(A_1) = \frac{5}{10} = \frac{1}{2}, \quad P(A_2) = \frac{3}{10}, \quad P(A_3) = \frac{2}{10} = \frac{1}{5}$
  • 各厂的正品率：
    $P(B|A_1) = 1 - \frac{1}{10} = \frac{9}{10}, \quad P(B|A_2) = 1 - \frac{1}{15} = \frac{14}{15}, \quad P(B|A_3) = 1 - \frac{1}{20} = \frac{19}{20}$

步骤3：计算取得正品的总概率 $P(B)$
根据全概率公式：
$\begin{aligned}P(B) &= P(B|A_1)P(A_1) + P(B|A_2)P(A_2) + P(B|A_3)P(A_3) \\&= \left(\frac{9}{10} \cdot \frac{1}{2}\right) + \left(\frac{14}{15} \cdot \frac{3}{10}\right) + \left(\frac{19}{20} \cdot \frac{1}{5}\right) \\&= \frac{9}{20} + \frac{7}{25} + \frac{19}{100} \\&= \frac{45}{100} + \frac{28}{100} + \frac{19}{100} = \frac{92}{100} = \frac{23}{25}\end{aligned}$

步骤4：应用贝叶斯定理求 $P(A_1|B)$
$\begin{aligned}P(A_1|B) &= \frac{P(B|A_1)P(A_1)}{P(B)} \\&= \frac{\frac{9}{10} \cdot \frac{1}{2}}{\frac{23}{25}} = \frac{\frac{9}{20}}{\frac{23}{25}} = \frac{9}{20} \cdot \frac{25}{23} = \frac{225}{460} = \frac{45}{92}\end{aligned}$